10-四个基本子空间

线代

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四个基本子空间包括了：A的列空间和零空间，A转置的列空间（行空间）和零空间（左零空间）。
同时行线性相关等同于列线性相关。（如何联系列行空间）

列空间

假设有一个m*n的A矩阵
列空间是属于R^m的（一列有m个分量）
他的秩为r

零空间

属于R^n,显然解有n个分量。
秩为n-r

行空间

属于R^n就是转置的列空间
秩为r

左零空间（二等公民？）

属于R^m
秩为m-r

著名的基本子空间关系图

找书去吧

显然同属R^n的两个子空间的秩的和为n，而R^m的为m.

理解空间

找到他们的基

行空间

例子

$$\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\1 & 2 & 3 \\2 & 5& 8 \\\end{bmatrix}$$
首先C（R）！=C（A）
行变化不会改变行空间但会改变列空间。
行空间的基是简化阶梯型的前r行，既行空间最佳的基。

左零空间

为了方便表达，说A^T*y=0
也就是说y^T*A=0

高斯-若尔消元
EA=R（E是消元矩阵）
写成E[A I](A是m*n，I是m*m)->[R E]
EI=E EA=R
如果R=I
E=A^(-1)(这种情况A才可逆)

如何求左零空间的基
找一个能生成0行向量的组合（左乘一个消元矩阵）
R零行对应的消元矩阵的行就是基的向量。（这一行乘矩阵得到0）

$$\begin{bmatrix}-1 & 2 & 0\\1 & -1 & 0 \\-1 & 0& 1 \\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 2 & 3&1\\1 & 2 & 3&1 \\1 & 2& 3&1 \\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 0 & 1&1\\0 & 1 & 1&0 \\0 & 0& 0&0 \\\end{bmatrix}$$
在这个例子里很容易看出来

New vector space

将矩阵看成向量，进行加减和数乘运算（不考虑矩阵乘法），得到一种新的空间