导数与微分

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导数

什么是导数

高中说是斜率，其实现在也还是斜率。
补充了什么叫做切线（当割线的长度为0的时候），s=f（t）求速度的表达式，都涉及到求导。

如何求导

$f（x）=\Delta y/\Delta x$
也是求$[f(x+ \Delta x)-f(\Delta x)]/\Delta x$的极限，当$\Delta x$非常小时y的变化会非常小，就会无限接近于真实的斜率

导数的运算规则（假设有两个函数uv）

两个函数相加减求导，这个简单，写成$[f(x+ \Delta x)-f(\Delta x)]/\Delta x$的形式可以求出
两个函数相乘求导，先把两个函数的导数分别写成如上形式，分别乘一个$u(x+ \Delta x)和v(x)$,中间消掉，得出公式
相除，乘一个导数

不同函数的导数

背？

复合函数求导

如f（g（x）），相当于求f(u)的导数，$f（u）=\Delta y/\Delta u$，$u（x）=\Delta u/\Delta x$

隐函数求导

隐函数？

当x确定时，y有唯一确定的值使得等式成立（例如y+x=0），显化就是把它化为一般形式（y=-x）。

求导

y=y（x）将其看成一个复合函数，利用复合函数的求导规则求导。
对反函数的左边求导，对反函数的右边求导，化简可以得到反函数的导数。

反函数求导

有一个函数y=f（x），反函数为x=f（y），$f（x）=\Delta y/\Delta x$，$f（y）=\Delta x/\Delta y$显然它的导数就是原来的倒数。

参数方程求导

将参数方程中的一个方程转为它的反函数，将这个参数方程看成这个反函数和另一个函数的复合（选取的反函数不同求导的结果不同，但都是该参数方程的导数），得到公式$\varphi (t)/\psi (t)$

变化率关系

先找出x与y 的关系，写出等式，再找出他们与t的关系，利用已知条件求出x或y的变化率

11.26

微分

什么是微分

举例：一个正方形，设原边长为x，现在增加了h，面积的变化量是（x+h）^2-x^2,f(x)=x^2.化简可以得到2xh+h^2。前一部分在图片上表示为两个小长方形，后一部分表示为小正方形。当h取得非常非常小时（极限），小正方形的面积可以忽略不记，留下2xh（2x是x^2的导数，h是x的变化量）。把这个理解为微分。

什么情况下可微

证明：可微<=>可导（正、反）

微分的几何意义

导数的几何意义可以理解为函数图像的切线的斜率，切线的角度（a），斜率等于tan a，dx（h）×tan a=dy，当dx非常非常小时（极限），dy就近似等于y的变化量。

微分的运算法则

根据导数的运算法则可以求出

微分的应用

近似计算

公式：$f（x）\approx f(x_0)+f'(x)(x-x_0)$后面部分代表了y的变化量

绝对误差和相对误差