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@chawuciren 2018-12-09T16:01:01.000000Z 字数 1796 阅读 682

笔记

H


  1. diff(sin(n*x)*sin(x)^n, x);//一阶导数
  2. Simplify(%);//化简
  3. 对表达式求xn阶导数,用$列表:
  4. diff(sin(x),x$n) $ n=1..8;
  5. 实验例4 设是三次多项式的不同实根,试证明:
  6. .
  7. 实验步骤:
  8. 这个题目用单引号运算符“ ' ”对映射形式的函数求导数更方便.
  9. 首先,根据代数学关于多项式与根的关系的理论,定义三次多项式:
  10. P:=x-->A*(x-x1)*(x-x2)*(x-x3);
  11. 2. 复合函数求导
  12. 实验例5. 对函数求导,验证复合函数求导法则.
  13. 理论分析:该函数可以看作的复合.
  14. 实验过程:
  15. 步骤1 直接由函数表达式对x求导:
  16. delete x;
  17. diff(1/2*ln(1-E^(-2*x^2))+E^(-x^2)*arcsin(E^(-x^2))/sqrt(1-E^(-2*x^2)), x);
  18. 步骤2 由被复合的两个函数表达式分别对u和x求导,然后相乘,验证复合函数求导法则:
  19. delete u,x,y;
  20. y:=1/2*ln(1-u^2)+u*arcsin(u)/sqrt(1-u^2);
  21. dy_du:=diff(y, u);//这里是复合求导了,首先是y对u求导
  22. u:=E^(-x^2);//先写出u是什么
  23. dy_du;//然后打印一下表达式
  24. du_dx:=diff(u, x);//u对x求导,上面都是直接写表达式,看这里用了另一种形式,其实就是先写出映射,再写对什么求导,上面也是一样的
  25. dy_du*du_dx;//两个导数相乘
  26. 步骤3 视作两个函数的复合,
  27. 采用映射形式,分别求导,然后相乘,验证复合函数求导法则:
  28. delete u,x,f,g;
  29. f:=u-->1/2*ln(1-u^2)+u*arcsin(u)/sqrt(1-u^2);//注意前面怎么写的u-->
  30. dy_du:=f'(u);//这里就是f(u)了,同理可以把f换掉
  31. g:=x-->E^(-x^2);
  32. du_dx:=g'(x);//写g并且求导数
  33. f'(g(x))*g'(x);//相乘
  34. Simplify(%);//化简
  35. 实验例6 已知g为可导函数,a为实数,试求下列复合函数的导数:
  36. (1);(2);(3);(4)
  37. 还可以不要这么麻烦,这样可以求出通式,姑且就叫通式吧
  38. 直接对表达式求导:
  39. diff(g(x+g(a)), x);//只举第一个做例子
  40. 说明:MuPAD用符号表示diff(g(x),x),即.
  41. 3. 反函数求导
  42. 实验例7 求函数的反函数在处的导数.
  43. 实验过程:
  44. 步骤1 求解非线性方程的符号解,解不出来:
  45. solve(2*x-cos(x)/2=-1/2, x);
  46. 步骤2 求解非线性方程的数值解:
  47. numeric::fsolve(2*x-cos(x)/2=-1/2, x);
  48. 步骤3 用反函数求导公式计算所求:
  49. diff(2*x-cos(x)/2, x);
  50. subs(%, x=0);
  51. 1/Simplify(%);
  52. 步骤4 绘函数图像验证上述解答的正确性:
  53. 首先,绘制函数的图像:
  54. plot(2*x-cos(x)/2, x=-5..5);
  55. 然后,由于反函数y=f-1(x)的图像与原函数y=f(x)的图像关于直线y=x对称,
  56. 可以用plot::Reflect2d绘制反函数的图像:
  57. Gf:=plot::Function2d(2*x-cos(x)/2, x=-3..3, Color=RGB::Blue):
  58. P:=plot::Point2d([0,-1/2], Color=RGB::Blue):
  59. Gi:=plot::Reflect2d([0, 0], [1, 1],
  60. plot::modify(Gf, Color=RGB::Red)):
  61. Q:=plot::Point2d([-1/2,0], Color=RGB::Red)://(请查阅Help文档,认识plot::Reflect2d和plot::modify的语法与功能)f
  62. L:=plot::Function2d(x, x=-4..4, Color=RGB::Black, LineStyle=Dashed):
  63. plot(Gf, P, Gi, Q, L, #C, ViewingBox=[-4..4,-4..4],
  64. Height=120, Width=120);
  65. 说明:蓝色曲线是原函数的图像,红色曲线是其反函数的图像.
  66. 蓝点P(0,-1/2)对应红点Q(-1/2,0). 从图像可以验证计算的正确性.
  67. (请查阅Help文档,认识plot::Reflect2d和plot::modify的语法与功能)
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