12-图和网络

线代

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拓扑结构是指网络中各个站点相互连接的形式，在局域网中明确一点讲就是文件服务器、工作站和电缆等的连接形式。

矩阵来源于拓扑结构，这一讲讲图和矩阵的关系。

图

图由Node和Edge构成，在这里引入了电势、电势差和电流。
每一个点是电势，边是电流，然后将这个图写成矩阵的形式。

例如该图可以写为

$$\begin{bmatrix}-1 & 1& 0&0\\0 & -1 & 1&0 \\-1 & 0& 1&0\\-1&0&0&1 \\0&0&-1&1 \\\end{bmatrix}$$
把每条边的开始节点写为-1，终止节点写为1.
有多少列有多少个节点，有多少行有多少条边。每行的元素的关系表示了点是如何构成边。（举第一行为例：-1代表从一号节点开始，1表示到二号结点结束。后面的0表示没有。）
试图求该矩阵的零空间。
设向量x=[x1 x2 x3 x4](列向量)
x2-x1
x3-x2
x3-x1
x4-x1
x4-x3
当各个分量都相等的时候，Ax=0成立，Ax的结果是各个节点之间的差值。Ax=0的意思是当节点电势取何值时，全部的节点之间的电势差为0。这个时候等电势，电势差为0，电流为0.
该0空间维数为1（因为只有各分量都相等的时候才成立，基只有一个向量）
这也说明了节点的电势都是由常数决定的，电势是产生电流的原因。
设有一个矩阵C，将电势和电流联系起来。

A的转置乘y=0

基尔霍电流定义（KCL）流入一个节点的电流与流出的是相等的，即合电流为0。
-y1-y3-y4=0（说明节点一满足定律的条件）
y1-y2=0
y2+y3-y5=0
y4+y5=0
前面已经知道了矩阵A的秩为三，所以左零空间的秩为2，应该有两个向量组成的基。
这个基可以通过图求出。
一个回路代表基的一个向量。大的回路也可以求出一个向量，但是这个向量和基的向量是线性相关的。
而基的向量说明了哪几列线性相关。
举个例子[1 1 -1 0 0]这个列向量说明了第一列加上第二列等于第三列。（通过求零空间的基求出来的）
比如y1、y2取了1，y3就取-1，其他取0.（-1的地方，箭头是反的......）,说明电流只能在回路中流动，相关性是由回路产生的。
当A的转置线性无关的时候没有回路，没有回路的图叫做“树”

欧拉公式：回路数（二维）=边数（一维）-顶点数（零维）+1

前面求A的零空间已经求到1 1 1 1了，就是说知道0空间的秩为1，顶点数代表了列数，列数-1就是列空间的秩r（#nodes-1），有多少个回路代表有左零空间的基有多少个向量。边数是行数，就是转置后的列数。（其实这个公式就是一个求左零空间的秩的公式）

最后

电势e=Ax；
电势差导致电流产生y=Ce；
电流A^Ty=0（加入电源是f）;
无电源
应用数学的基本方程A^TCAx=f(A^T*A是对称的，该公式没有考虑时间)