线性代数知识体系

转载

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原文地址如下：
https://www.zhihu.com/question/21082351/answer/734162947

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要直观理解线性代数里面那些奇奇怪怪的东西，比如什么“特征向量”，“最小二乘”等，最好从“几何”的角度来理解。这篇回答会从“几何”的角度来从头开始讲线性代数，所以顺序可能和教科书不太一样，目的是增进理解，但是可能对于解题没有太大帮助。为了更方便大家在脑海里获得图像，我们尽量先从二维（$R^2$）的情况来得出“直观”的结论，然后再推广到高维的一般情况。

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一、基向量

1.普通二维向量

1.1基本定义

在平面上既有大小又有方向的量。可以用一个二元坐标来表示，比如：$\vec{v} = (x,y)$，表示终点相对于起点的偏移量为 $x$ 和 $y$ ；也可以理解为把向量起点放到坐标原点上，终点所在的坐标。

1.2几何意义

可以用一个箭头来“绘制”二维向量，箭头的长度就是向量的模，箭头的方向就是向量的方向。这个向量你随意放在坐标系的任何地方，只有长度和方向不变，那就是同一个向量，且易证只要长度方向不变，其坐标表达式就不变。比如图中的蓝色箭头都是同一个向量$\vec{v} = (2,1)$
向量的几何表示

2.计算

若有任意向量 $\vec{v} = (a,b)$，$\vec{u} = (c,d)$，任意实数 $\lambda$

2.1向量的长度（模）

$$||\vec{v}|| = \sqrt{a^{2}+b^{2}}$$

2.2向量的加法

$$\vec{v} + \vec{u} = (a + c, b + d)$$
该式满足平行四边形法则。说白了就是把 $\vec{u}$ 的起点平移到 $\vec{v}$ 的终点上，然后以 $\vec{v}$ 的起点为起点，以 $\vec{u}$ 的终点为终点的向量就是它们的和。
如图，蓝色的是 $\vec{v}$和$\vec{u}$ ，红色的就是向量加法，也即收尾相连（和平行四边形法则一样）

2.3向量的数乘

，比如 ，就是3个 相加，按照加法的本质（首尾相连）可以轻易求出向量的数乘， 如图所示向量数乘，即多个向量相加向量的点积： 。要理解它的本质其实很简单，两个方向不同的玩意怎么相乘呢？那就先让它们方向相同，也就是让其中一个向量作另一个向量的投影，所以它的本质就是其中一个向量投影到另一个向量身上的长度乘以另一个向量的长度。若已知它们的夹角为 ，那么就有 ，而其结果等同于行向量乘以列向量： ，至于为什么会存在这种“巧合”，需要在几何上通过线性变换的几何本质进行证明，具体证明过程这里就先忽略了。

3.二维基向量

在平面系统中，有一对基向量 $\vec{i} = (1,0)$，$\vec{j} = (0,1)$ ，用它们的线性组合（加法和数乘）来表示任意的向量，也就是任意向量 $\vec{v} = (x,y) = x\vec{i} + y\vec{j}$。如图用基向量来表示

$$\vec{v} = (2,3) = 2\vec{i} + 3\vec{j}$$
这是非常重要的思想，请牢牢记在脑海中。
实际上基向量可以任意去取，你可以在坐标系中任意找两个向量作为基向量，只要这一对基向量线性无关（不共线），那么它们就可以用来表示这个坐标系下所有存在的向量。

3.1证明

任意一对线性无关的基向量 $\vec{i} = (a,b)$，$\vec{j} = (c,d)$ ，只考虑加法和数乘。则对于任意的向量 $\vec{v} = (x,y)$ ，一定存在两个实数 $n$，$m$ 使得

那么我们就有方程组：

因为 $\vec{i}$，$\vec{j}$ 线性无关，即：$\displaystyle \frac{a}{b} \neq \frac{c}{d}$，也就是 $ad\neq bc$，那么方程就存在唯一解：
$$n = \frac{dx-cy}{ad-bc}, m = \frac{ay-bx}{ad-bc}$$
那么对于任意的向量 $\vec{v} = (x,y)$，和一组基向量$\vec{i} = (a,b)$，$\vec{j} = (c,d)$，我们都能找到两个常数来表示这个向量。
$$\vec{v} = n\vec{i}+ m\vec{j} = \frac{dx-cy}{ad-bc}\vec{i} + \frac{ay-bx}{ad-bc}\vec{j}$$

3.2补充

顺便一提，如果这对基向量线性相关（共线），那么它们就只能表示它们所在的那条直线上的所有向量；而如果它们都是“零向量”，则它们只能表示零向量。
这对基向量能表示的所有的向量的集合，叫做“这对基向量张成的空间”。

• 在平面中，如果这对基向量线性无关，则它们张成的空间就是整个平面；
• 如果它们线性相关，则张成的空间就是它们所在的直线；
• 如果它们是零向量，则它们张成的空间就是原点。

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