在此处输入标题

内幕交易

---

$1973$ 年，Fama 和 MacBeth 提出了 Fama-MacBeth Regression（Fama and MacBeth，1973），目的是为了检验 CAPM。Fama-MacBeth 也是一个“两步截面回归检验方法”；它非常巧妙排除了“残差”在截面上的相关性对标准误的影响，在业界被广泛使用。这篇文章也是计量经济学领域被引用量最高的文章之一。

如今 Fama-MacBeth 回归被广泛应用于计量经济学的 Panel Data 分析。而在金融领域，Fama-MacBeth 回归常被用于在用多因子模型中分析投资品的截面预期收益率和因子暴露的关系。下面以投资品多因子模型为例，简单解释 Fama-MacBeth 回归。

和传统截面回归一样，Fama-MacBeth 回归也是一个 Two-Pass Regression Estimate。

在第一步中，通过时间序列回归（Time-Series Regression）得到个股收益率在因子上的暴露 $\beta_{i}$ ：

$$R_{t}^{i} = \alpha^{i} + (\beta^{i})^{T}f_{t} + \varepsilon_{t}^{i} \ , t = 1, 2, ..., T \ \forall i$$

在这个模型中，因子可以是 Portfolio Returns，也可以是诸如 GDP、CPI 这类宏观经济指标，or whatever。上面的时间序列回归中， $R_{t}^{i}$ 是投资品超额收益，$f_{t}$ 是因子的取值（如果因子本身是一个投资组合的收益率，则 $f_{t}$ 就是收益率；如果因子本身是个宏观经济指标，那么因子的取值就是该经济指标，以此类推）。回归的目的是为了得到因子暴露 $\beta_{i}$。

在第二步截面回归中，Fama-MacBeth 在每个时间 $t$ 上进行了一次截面回归，这是 Fama-MacBeth 和上面的截面回归最大的不同：

$$R_{t}^{i} = (\beta^{i})^{T}\lambda_{t} + a_{t}^{i} \ , i = 1, 2, ..., N\ for \ each\ t$$

比较一下上式和本文第三节截面回归中的表达式。在一般的截面回归中，我们首先在时序上对

上述方法的巧妙之处在于它把 $T$ 期的回归结果当作 $T$ 个独立的样本。参数的 Standard Errors 刻画的是样本统计量在不同样本间是如何变化的。在传统的截面回归中，我们只进行一次回归，得到 $\lambda$ 和 $\alpha$ 的一个样本估计。而在 Fama-MacBeth 截面回归中，我们把 $T$ 期样本点独立处理，得到 $T$ 个 $\lambda$ 和 $\alpha$ 的样本估计。由此便能很容易且正确的求出 $\lambda$ 和 $\alpha$ 的标准误（Standard Errors）：

我们为什么关心 Standard Errors 是不是准确的？因为这对于在统计上推断参数的显著性（比如：计算 t-statistic，或者求解置信区间）至关重要。没有正确的 Standard Errors，这一切都无从谈起。残差收益率在截面上相关性造成传统截面回归法中回归系数的 standard errors 被低估，而 Fama-MacBeth 有效的解决了这个问题。

从上面的描述不难看出，Fama-MacBeth 截面回归和传统截面回归的区别是：

1. Fama-MacBeth 截面回归先在不同的 t 上分别用 和 做回归，再把回归的结果 和 在时序上取均值得到 和 ；
2. 传统截面回归是先把 在时序上取均值得到 然后再进行一次截面回归，直接得到 和 。

所以简单来说：Fama-MacBeth 先回归再均值；而传统截面回归先均值再回归。当截面回归中的 Regressor，即 $\beta^{i}$，在所有 $T$ 期上不变时，上述两种截面回归得到的 Estimate 是一致的（Fama-MacBeth 在处理残差的截面相关性上仍然有优势）。

在 Fama and MacBeth (1973) 中，作者在时序回归求解 $\beta^{i}$ 时采用了滚动窗口，因此 $\beta^{i}$ 在不同的 $t$ 是会发生变化的。如果我们用所有样本数据来一次估计 $\beta^{i}$，那么它们在所有 $T$ 期的取值相同。

由上面的介绍可知，Fama-MacBeth 回归的最大优点是：它排除了残差截面相关性对标准误的影响。股票的残差收益率在截面上具有很高的相关性，因此该修正对于准确计算标准误至关重要。下面来说说它的不足。

首先，Fama-MacBeth 回归对于残差在时序上的相关性无能为力。如果残差在时序上存在相关性，则需要对 Fama-MacBeth 回归得到的标准误进一步修正。Petersen (2009) 分析了不同的回归技术在分析 Panel Data 时由于忽略残差的时序或截面相关性而导致不准确的标准误（低估了其真实值）。这篇文章非常值得一读。其次，在截面回归中用到的 并不是已知的，而是通过时间序列得到的估计值（generated regressors），因此存在误差。Fama-MacBeth 回归对此也无能为力，需要 Shanken correction（Shanken 1992）。

如今我们有了 $GMM$（Hansen 1982）这样的大杀器，能够方便的处理残差的各种相关性，因此已经不一定非要使用 Fama-MacBeth 了。但不要忘记，Fama-MacBeth 比 $GMM$ 早提出了近 $10$ 年！在没有 $GMM$ 或其他更先进方法的年代，Fama-MacBeth 回归通过在截面回归时“先回归、再均值”的思路巧妙的排除了残差截面相关性的影响，得到了学术界的广泛认可，影响深远。时至今日，在计量经济学做面板分析的文章中，仍有约 $1/3$ 的文章采用 Fama-MacBeth 回归（Petersen 2009）。

得到该期因子的收益率 和个股的残差 。通过 T 次截面回归、得到 T 个的估计后，将它们取均值得到因子收益率均值 和个股残差均值 。
-- Fama-MacBeth 回归排除了残差截面相关性对标准误的影响，但是对时序相关性无能为力。

更多的请见：

参考文献

1. Fama, E. F. and J. D. MacBeth (1973). Risk, Return, and Equilibrium: Empirical Tests. The Journal of Political Economy, Vol. 81(3), 607 – 636.
2. Hansen, L. P. (1982). Large Sample Properties of Generalized Method of Moments Estimators. Econometrica, Vol. 50(4), 1029 – 1054.
3. Petersen, M. A. (2009). Estimating Standard Errors in Finance Panel Data Sets: Comparing Approaches. The Review of Financial Studies, Vol. 22(1), 435 – 480.
4. Shanken, J. (1992). On the Estimation of Beta-Pricing Models. The Review of Financial Studies, Vol. 5(1), 1 – 33.