@740340735 2015-11-09T11:55:30.000000Z 字数 1219 阅读 626

代数结构自学疑问记录

代数结构

推论一的另一种证明

因为 $(n,r)=d$ ，也就是 $r=td$ ， $t \in \mathbf{Z}$ 。所以， $\forall k \in \mathbf{Z}$ ，

$(a r) k = a k r = a k t d = (a d) k t$ $\ {(a^r)}^{k}=a^{kr}=a^{ktd}={(a^d)}^{kt}$
所以
$⟨ a r ⟩ \subseteq ⟨ a d ⟩ (1)$ $\langle a^r\rangle \subseteq \langle a^d \rangle \tag{1}$
易知 $\langle a^r \rangle$ 和 $\langle a^d \rangle$ 为有限群。又
$o r d a r = n ( n , r ) = n d = n ( n , d ) = o r d a d$ $\mathrm{ord}\ a^r=\frac{n}{(n,r)}=\frac{n}{d}=\frac{n}{(n,d)}=\mathrm{ord}\ a^d$
即
$| ⟨ a r ⟩ | = ∣ ∣ ⟨ a d ⟩ ∣ ∣ (2)$ $\left |\langle a^r\rangle \right | =\left | \langle a^d \rangle \right | \tag{2}$
所以，由 $(1)$ 、 $(2)$ ，可得 $⟨ a r ⟩ = ⟨ a d ⟩$ $\langle a^r \rangle = \langle a^d \rangle$
推论二证明习题解答 Page 37 为何要证 $\langle a^r \rangle \neq \langle e \rangle$ 。
推论二类似推论一证明，从 $\mathrm{ord}$ 证明势不等，从而推出群不等。
推论二证明习题解答 Page 38 如何从 $d_1 \nmid d_2$ 推出 $a^{d_2} \notin \langle a^{d_1} \rangle$ ？反例： $G = Z * 7, n = 6, a = 2, d 1 = 3, d 2 = 2$ $G=\mathbf{Z}_7^*,\ n=6,\ a=2,\ d_1=3,\ d_2=2$

$\mathrm{ord}\ \sigma=\left[ r_1, r_2, \cdots , r_s\right]$ 是什么意思？（习题解答 Page 44）

$\ \ \ \ \ (7\ 1)(3\ 6)(2\ 5)(6\ 4)(4\ 5)(2\ 5)\\=(7\ 1)(3\ 6)(2\ 5)(6\ 4)(4\ 5)(5\ 2)\\=(7\ 1)(3\ 6)(2\ 5)(6\ 4\ 5\ 2)\\=(7\ 1)(3\ 6)(2\ 5)(5\ 2\ 6\ 4)\\=(7\ 1)(3\ 6)(6\ 4)\\=(7\ 1)(3\ 6\ 4)$