代数结构 环(I) 作业二

代数结构

陆一洲 5140309557

Page 129

Problem 2

证明集合 $$\mathbf{Z}[\theta]=\{a+b\theta\mid a,b\in\mathbf{Z}\},\ \ \ \theta=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{-3}$$ 关于通常数的运算构成一个整环，并求出 $\mathbf{Z}[\theta]$ 的所有单位。

先化简方便运算，$\theta=\frac{1}{2}(1+3\mathrm{i})$，其中有 $\theta^2=\theta-1$。

① 证明整环

1. 证明集合 $\mathbf{Z}[\theta]$ 是关于通常数加法的交换群：
   
   • 加法封闭：对于 $\forall\ \alpha=a+b\theta,\beta=c+d\theta$，有 $\alpha+\beta=(a+c)+(b+d)\theta\in \mathbf{Z}[\theta]$；
   • 显然满足加法结合律、交换律；
   • 有加法零元 $e=0=0+0\theta$ 满足条件；
2. 证明集合 $\mathbf{Z}[\theta]\backslash\{0\}$ 是关于通常数乘法的交换群：
   
   • 乘法封闭：对于 $\forall\ \alpha=a+b\theta,\beta=c+d\theta\in\mathbf{Z}[\theta],\ (a,b,c,d\in\mathbf{R})$，有 $\alpha\cdot\beta=(ac-bd)+(bc+ad+bd)\theta\in \mathbf{Z}[\theta]$；
   • 显然满足乘法结合律、交换律；
   • 有单位元 $e=1=1+{0\theta}$ 满足条件；
3. 显然乘法对加法的两个分配率成立。
4. 若 $\forall\ \alpha=a+b\theta,\beta=c+d\theta\in\mathbf{Z}[\theta],\ (a,b,c,d\in\mathbf{R}\setminus\{0\})$，使得 $\alpha\beta=0$，即有 $$\begin{cases}ac-bd=0 & (1)\\ bc+ad+bd=0 & (2) \end{cases}$$ 将 $(2)$ 左右同乘以 $c$，再将 $(1)$ 带入 $(2)$ 中得 $$b(c^2+cd+d^2)=0$$ 由于 $b,d\neq0$，两边同时除以 $bd^2$，有 $$\left(\frac{c}{d}\right)^2+\frac{c}{d}+1=0$$ 显然此方程关于 $\frac{c}{d}$ 没有实数解，所以与假设矛盾，即 $\mathbf{Z}[\theta]$ 没有零因子。

所以，集合 $\mathbf{Z}[\theta]=\{a+b\theta\mid a,b\in\mathbf{Z}\},\ \theta=\frac{1}{2}(1+3\mathrm{i})$ 关于通常数的加法与乘法构成一个有单位元的交换环。

② 求单位

由式 $\theta^2-\theta+1=0$，可得：

$$1=1\cdot 1=(-1)\cdot (-1)=\theta(\theta-1)=(-\theta)(1-\theta)$$ 所以，显然有且仅有 $6$ 个单位，分别为： $$1,\ -1,\ \theta,\ -\theta,\ -1+\theta,\ 1-\theta$$

Problem 9

　求环 $\mathbf{Z}\oplus \mathbf{Q}\oplus \mathbf{Z}$ 的所有零因子和所有单位。

(1) $\mathbf{Z}\oplus \mathbf{Q}\oplus \mathbf{Z}$ 的所有零因子为

$$\{(a,r,c)\mid arc=0,\ a+r+c\neq0,\ a,c\in\mathbf{Z},\ r\in\mathbf{Q}\}$$
(2) $\mathbf{Z}\oplus \mathbf{Q}\oplus \mathbf{Z}$ 的所有单位为 $$\{(a,r,c)\mid a,c=\pm1,\ r\neq0,\ r\in\mathbf{Q}\}$$

Problem Add

证明：对于 $n\in\mathbf{Z}^+$，环 $\mathbf{Z}_n$ 的所有理想是 $d\mathbf{Z}_n$，其中 $d=0$ 或者 $d|n$。

显然 $\mathbf{Z}_n$ 的所有加法子群为 $I=d\mathbf{Z}_n$，所以下证 $d=0$ 或者 $d|n$。
① 两个平凡的理想：$I=\{0\}$ 或 $I=\mathbf{Z}_n$，即 $d=0$ 或 $d=1$；
② 对于 $\forall\ a=dk\in d\mathbf{Z}_n, r,k\in \mathbf{Z}_n$，有 $ar=dkr\ \mathrm{mod}\ n\in d\mathbf{Z}_n$，即对于 $\forall\ t=kr\in\mathbf{Z}_n$，有 $d|(dt\ \mathrm{mod}\ n)$，所以 $d|n$。
综上，对于 $n\in\mathbf{Z}^+$，环 $\mathbf{Z}_n$ 的所有理想是 $d\mathbf{Z}_n$，其中 $d=0$ 或者 $d|n$。