离散数学(2) 第三周作业

离散数学(2)

陆一洲 5140309557 of F1403020

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设公理系统 $\mathscr{A}$，$\mathscr{B}$ 和 $\mathscr{C}$ 均是本命题演算永真公式公理系统之上分别加入下列类型的公式 $(\mathrm{A})$，$(\mathrm{B})$ 和 $(\mathrm{C})$ 后的新系统。试证在这些新系统中公式 $\alpha$ 均是可证公式，即 $\mathscr{A}$，$\mathscr{B}$ 和 $\mathscr{C}$ 均是矛盾的。
$\mathrm{(A)}$ $\alpha\supset\beta$
$\mathrm{(B)}$ $((\alpha\wedge\beta)\supset(\bar\alpha\vee\gamma))\supset\beta$
$\mathrm{(C)}$ $(\alpha\vee\beta)\supset(\alpha\supset\beta)$
其中 $\alpha$、$\beta$ 为任何公式。

$\mathrm{(A)}$
设 $\beta$ 为 $\bar\alpha$，即有 $\alpha\supset\bar\alpha$，所以系统中公式 $\alpha$ 均是可证公式，即 $\mathscr{A}$ 是矛盾的。
$\mathrm{(B)}$
设 $\gamma$ 为 $\bar\beta$，即有 $(\alpha\wedge\beta)\supset(\bar\alpha\vee\bar\beta)$
由于 $\alpha\supset(\alpha\wedge\beta)$，$(\bar\alpha\vee\bar\beta)\supset\bar\alpha$，所以有 $\alpha\supset(\alpha\wedge\beta)\supset(\bar\alpha\vee\bar\beta)\supset\bar\alpha$
即有 $\alpha\supset\bar\alpha$，所以系统中公式 $\alpha$ 均是可证公式，即 $\mathscr{B}$ 是矛盾的。
$\mathrm{(C)}$
设 $\beta$ 为 $\bar\alpha$，既有 $(\alpha\vee\bar\alpha)\supset(\alpha\supset\bar\beta)$，消去左边，即有 $\alpha\supset\bar\alpha$
所以系统中公式 $\alpha$ 均是可证公式，即 $\mathscr{C}$ 是矛盾的。