离散数学(2) 第二周作业

离散数学(2)

陆一洲 5140309557 of F1403020

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$((\alpha\wedge\beta)\wedge\gamma)\supset(\alpha\wedge(\beta\wedge\gamma))$

由公理17、18，有 $$\begin{align*} ((\alpha\wedge\beta)\wedge\gamma)&\supset(\alpha\wedge\beta)\supset\alpha\tag{1}\\ ((\alpha\wedge\beta)\wedge\gamma)&\supset(\alpha\wedge\beta)\supset\beta\tag{2}\\ ((\alpha\wedge\beta)\wedge\gamma)&\supset\gamma\tag{3} \end{align*}$$ 由公理19,(2),(3)，可得 $(4)=((\alpha\wedge\beta)\wedge\gamma)\supset(\beta\wedge\gamma)$
再由公理19,(1),(4)，可得 $((\alpha\wedge\beta)\wedge\gamma)\supset(\alpha\wedge(\beta\wedge\gamma))$

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$(\alpha\supset\beta)\supset((\alpha\wedge\gamma)\supset(\beta\wedge\gamma))$

由公理17，有 $(1)=(\alpha\wedge\gamma)\supset\alpha$
由公理18，有 $(2)=(\alpha\wedge\gamma)\supset\gamma$
由 $\alpha\supset\beta$,(1) 可得 $(3)=(\alpha\wedge\gamma)\supset\beta$
由 (2),(3).公理22 可得，$(\alpha\wedge\gamma)\supset(\beta\wedge\gamma)$
所以，$(\alpha\supset\beta)\supset((\alpha\wedge\gamma)\supset(\beta\wedge\gamma))$

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$((\alpha\vee\beta)\vee\gamma)\supset(\alpha\vee(\beta\vee\gamma))$

由公理20、21，有 $$\begin{align*} \alpha\supset(\alpha\vee\beta)&\supset(\alpha\vee(\beta\vee\gamma))\tag{1}\\ \beta\supset(\alpha\vee\beta)&\supset(\alpha\vee(\beta\vee\gamma))\tag{2}\\ \gamma&\supset(\alpha\vee(\beta\vee\gamma))\tag{3} \end{align*}$$ 由公理22,(2),(3)，可得 $(4)=(\alpha\vee\beta)\supset(\alpha\vee(\beta\vee\gamma))$
再由公理22,(1),(4)，可得 $((\alpha\vee\beta)\vee\gamma)\supset(\alpha\vee(\beta\vee\gamma))$

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$(\alpha\supset\beta)\supset((\alpha\vee\gamma)\supset(\beta\vee\gamma))$

由公理20，有 $(1)=\beta\supset(\beta\vee\gamma)$
由公理21，有 $(2)=\gamma\supset(\beta\vee\gamma)$
由 $\alpha\supset\beta,(1)$ 可得 $(3)=\alpha\supset(\beta\vee\gamma)$
由 $(2),(3),22$ 可得，$(\alpha\vee\gamma)\supset(\beta\vee\gamma)$
所以，$(\alpha\supset\beta)\supset((\alpha\vee\gamma)\supset(\beta\vee\gamma))$

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$(\bar\alpha\supset\bar\beta)\supset(\beta\supset\alpha)$

假设 $\bar\alpha$，则由 $\bar\alpha\supset\bar\beta$，可得 $\bar\beta$，与 $\beta$ 矛盾，故原式成立

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$(\alpha\supset\beta)\supset((\alpha\supset\bar\beta)\supset\bar\alpha)$

假设 $\alpha$，则由 $\alpha\supset\beta$ 与 $\alpha\supset\bar\beta$ 可得 $\beta$ 与 $\bar\beta$，产生矛盾，故原式成立

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$(\alpha\vee(\beta\wedge\gamma))\equiv((\alpha\vee\beta)\wedge(\alpha\vee\gamma))$

由 公理20，可得 $\alpha\supset(\alpha\vee\beta)$ 与 $\alpha\supset(\alpha\vee\gamma)$
由 公理19，可得 $(1)=\alpha\supset((\alpha\vee\beta)\wedge(\alpha\vee\gamma))$
由 公理17,18，可得 $(\beta\wedge\gamma)\supset\beta$ 与 $(\beta\wedge\gamma)\supset\gamma$
由 公理21，可得 $(\beta\wedge\gamma)\supset(\alpha\vee\beta)$ 与 $(\beta\wedge\gamma)\supset(\alpha\vee\gamma)$
由 公理19，可得 $(2)=(\beta\wedge\gamma)\supset((\alpha\vee\beta)\wedge(\alpha\vee\gamma))$
由 (1), (2), 公理22，可得 $(3)=(\alpha\vee(\beta\wedge\gamma))\supset((\alpha\vee\beta)\wedge(\alpha\vee\gamma))$

由 公理17,18，可得 $((\alpha\vee\beta)\wedge(\alpha\vee\gamma))\supset(\alpha\vee\beta)$ 与 $((\alpha\vee\beta)\wedge(\alpha\vee\gamma))\supset(\alpha\vee\gamma)$
由 公理19，可得 $(4)=(\alpha\vee\beta)\supset((\alpha\vee\beta)\wedge\gamma)$ 与 $(5)=(\alpha\vee\gamma)\supset((\alpha\vee\gamma)\wedge\beta)$
由 (4),(5)，可得 $(6)=((\alpha\vee\beta)\wedge(\alpha\vee\gamma))\supset(\alpha\vee(\beta\wedge\gamma))$
由 (3),(6),分分16，可得 $(\alpha\vee(\beta\wedge\gamma))\equiv((\alpha\vee\beta)\wedge(\alpha\vee\gamma))$

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$\overline{\alpha\vee\beta}\equiv(\bar\alpha\wedge\bar\beta)$

由 公理17,18，可得 $(\bar\alpha\wedge\bar\beta)\supset\bar\alpha$ 与 $(\bar\alpha\wedge\bar\beta)\supset\bar\beta$
由 定理141，可得 $\alpha\supset\overline{\bar\alpha\wedge\bar\beta}$ 与 $\beta\supset\overline{\bar\alpha\wedge\bar\beta}$
由 公理22，可得 $\alpha\vee\beta\supset\overline{\bar\alpha\wedge\bar\beta}$
由 定理141，可得 $(1)=(\bar\alpha\wedge\bar\beta)\supset\overline{\alpha\vee\beta}$

由 公理20,21，可得 $\alpha\supset(\alpha\vee\beta)$ 与 $\beta\supset(\alpha\vee\beta)$
由 定理141，可得 $\bar\alpha\subset\overline{\alpha\vee\beta}$ 与 $\bar\beta\subset\overline{\alpha\vee\beta}$
由 公理19，可得 $(2)=\overline{\alpha\vee\beta}\supset(\bar\alpha\wedge\bar\beta)$
由 (1),(2),分分16，可得 $\overline{\alpha\vee\beta}\equiv(\bar\alpha\wedge\bar\beta)$