代数结构 环(I) 作业三

代数结构

陆一洲 5140309557

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Problem 9

　设 $\mathbf{Z}[\mathrm{i}]$ 为高斯整环，$I=\langle1+2\mathrm{i}\rangle$。试写出 $I$ 的元素的明显表达式，并求商环 $\mathbf{Z}[\mathrm{i}]/I$。

① 明显表达式
设 $x+y\mathrm{i}\in\langle1+2\mathrm{i}\rangle$，则

$$y-2x=-(x+y\mathrm{i})\mathrm{i}+(1+2\mathrm{i})x\mathrm{i}\in\langle1+2\mathrm{i}\rangle$$ 从而 $(1-2\mathrm{i})(y-2x)\in\langle5\rangle$，由此推出 $5\mid y-2x$。
另一方面，如果 $5\mid y-2x$，则 $$x+y\mathrm{i}=x(1+2\mathrm{i})+(y-2x)\mathrm{i}\in\langle1+2\mathrm{i}\rangle$$ 所以 $$\langle1+2\mathrm{i}\rangle=\{x+y\mathrm{i}\mid y\equiv2x(\mathrm{mod}\ 5)\}$$
② 商环
对于 $\forall\ x+y\mathrm{i}$，有 $$\overline{x+y\mathrm{i}}=\overline{x(1+2\mathrm{i})+(y-2x)\mathrm{i}}=\overline{(y-2x)\mathrm{i}}$$ 而 $$\overline{y-2x}=\overline{0}\Leftrightarrow5\mid y-2x$$ 所以 $$\mathbf{Z}[\mathrm{i}]/I=\{\bar{0},\bar{1},\bar{2},\bar{3},\bar{4}\}$$

Problem 13

设 $I,J$ 为 $R$ 的理想。令 $$IJ=\left\{ \sum_{i=1}^{n}x_iy_i\ \right|\ n\in\mathbf{N},x_i\in I,y_i\in J \left.\right\}$$ 证明：$IJ$ 为 $R$ 的理想，且 $IJ\subset I\cap J$。

为方便书写，设 $g_n=\sum_{i=1}^{n}x_iy_i$，$G=IJ$。
① 显然，由多项式满足加法的各项性质，$IJ$ 是一个 $R$ 的一个加法子群。
② 对于 $\forall\ g_n\in G,r\in R$，有

$$rg_n=r\sum_{i=1}^{n}x_iy_i=\sum_{i=1}^{n}(rx_i)y_i\in G\\ g_nr=\left(\sum_{i=1}^{n}x_iy_i\right)r=\sum_{i=1}^{n}x_i(y_ir)\in G\\ $$ 所以，综上，$IJ$ 为 $R$ 的理想。

关于 $IJ\subset I\cap J$，题目错误，反例：$R=(\mathbf{Z},+,\cdot),I=J=IJ=\{0\}$，此时 $IJ=I\cap J$。
应该为 $IJ\subseteq I\cap J$，证明：显然 $IJ\subseteq I$ 且 $IJ\subseteq J$，所以 $IJ\subseteq I\cap J$。

Problem 17

设 $I=\langle6\rangle$，$J=\langle15\rangle$ 都是 $\mathbf{Z}$ 的理想，求以下各理想的生成元：
(1) $I+J$； (2) $I\cap J$； (3) $IJ$

(1) $(6,15)=3$
(2) $[6,15]=30$
(3) $6\cdot15=90$