代数结构 群(II) 作业四

代数结构

陆一洲 5140309557

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Problem 1

$\mathbf{Z}_9\oplus\mathbf{Z}_6$ 中有多少个 9 阶元素？

$\mathbf{Z}_9: 0(1),1(9),2(9),3(3),4(9),5(9),6(3),7(9),8(9)$
$\mathbf{Z}_6: 0(1),1(6),2(3),3(2),4(3),5(6)$
由公式 $\mathrm{ord}\ (a,b)=[\mathrm{ord}\ a, \mathrm{ord}\ b]$，可得有 18 个 9 阶元素。

Problem 3

证明或否定 $\mathbf{Z}\oplus\mathbf{Z}$ 是循环群。

不是。
若 $\mathbf{Z}\oplus\mathbf{Z}$ 是循环群，则 $\exists\ (e_1, e_2)$，对于 $\forall\ (a,b)\in\mathbf{Z}\oplus\mathbf{Z}$，$\exists\ k$，使得 $(e_1, e_2)^k=(a,b)$，所以 $e_1/e_2=a/b$，而 $a/b$ 可以是任意实数，所以不存在这样一个 $(e_1,e_2)$，所以 $\mathbf{Z}\oplus\mathbf{Z}$ 不是循环群。

Problem 5

通过比较元素的阶，证明：$\mathbf{Z}_8\oplus\mathbf{Z}_2$ 不同构于 $\mathbf{Z}_4\oplus\mathbf{Z}_4$。

$\mathbf{Z}_8: 0(1),1(8),2(4),3(8),4(2),5(8),6(4),7(8)$
$\mathbf{Z}_2: 0(1),1(2)$
由公式 $\mathrm{ord}\ (a,b)=[\mathrm{ord}\ a, \mathrm{ord}\ b]$，可得有 4 个 8 阶元素。
$\mathbf{Z}_4: 0(1),1(4),2(2),3(4)$
由公式 $\mathrm{ord}\ (a,b)=[\mathrm{ord}\ a, \mathrm{ord}\ b]$，可得有 0 个 8 阶元素。
所以二者不同构。

Porblem 7

设 $\mathbf{R}^*$ 是所有非零实数构成的乘法群，$\mathbf{R}^+$ 是所有正实数构成的乘法群。证明：$\mathbf{R}^*$ 是 $\mathbf{R}^+$ 与子群 $\{-1,1\}$ 的内直积。

① 对于 $\forall\ x\in \mathbf{R}^*$，可以分解为 $x=\mathrm{sgn}\ x\cdot |x|$，其中 $\mathrm{sgn}\ x\in \{-1,1\}$ 且 $|x|\in \mathbf{R}^+$，所以显然其表法唯一。
② 又显然，由实数乘法的交换律，$\mathbf{R}^+$ 中每个元素和 $\{-1,1\}$ 中每个元素可交换。
所以，$\mathbf{R}^*$ 是 $\mathbf{R}^+$ 与子群 $\{-1,1\}$ 的内直积。

Problem 8

设 $G=\mathbf{Z}_4\oplus\mathbf{Z}_4$，$H=\{(0,0),(2,0),(0,2),(2,2)\}$，$K=\langle(1,2)\rangle$。问 $G/H$ 是同构于 $\mathbf{Z}_4$ 还是 $\mathbf{Z}_2\oplus\mathbf{Z}_2$？$G/K$ 是同构于 $\mathbf{Z}_4$ 还是 $\mathbf{Z}_2\oplus\mathbf{Z}_2$？

由于 $\mathbf{Z}_4$ 存在 4 阶元素，而 $\mathbf{Z}_2\oplus\mathbf{Z}_2$ 最高只有 2 阶元素，所以即求 $G/H$ 与 $G/K$ 的最高元素阶数。
在 $G/H$ 中，由于 $H=\{0,2\}\oplus\{0,2\}$，所以显然 $H$ 不会有 4 阶元素，也同时 $G/H$ 不会有 4 阶元素，所以 问 $G/H$ 同构于 $\mathbf{Z}_2\oplus\mathbf{Z}_2$。
在 $G/K$ 中，由于 $K=\{(0,0),(1,2),(2,0),(3,2)\}$。对于 $(0,1)\in G$，

$$(0,1),2(0,1),3(0,1)\notin K$$ 所以 $\overline{(0,1)}$ 在 $G/K$ 中的阶为 4，所以 $G/K$ 同构于 $\mathbf{Z}_4$。

Problem 14

设 $G=G_1\times G_2\times\cdots\times G_n$，每个 $a_i$ 是 $G_i$ 中的有限阶元素，证明： $$\mathrm{ord}(a_1,a_2,\cdots,a_n)=\left[\mathrm{ord}\ a_1,\mathrm{ord}\ a_2,\cdots,\mathrm{ord}\ a_n\right]$$

设 $\mathrm{ord}\ a_i=m_i, s=[m_1, m_2,\cdots,m_n]$，则

$$(a_1,a_2,\cdots,a_n)^s=(a_1^s,a_2^s,\cdots,a_n^s)=(e_1,e_2,\cdots,e_n)$$ 从而 $(a_1,a_2,\cdots,a_n)$ 的阶是有限的，设其为 $t$，则要证明 $t=s$，由上式可得 $t|s$。又因为 $$(e_1,e_2,\cdots,e_n)=(a_1,a_2,\cdots,a_n)^t=(a_1^t,a_2^t,\cdots,a_n^t)$$ 所以有 $$a_i^t=e_i^t,\ \ \ \ i=1,2,\cdots,n$$ 所以有 $$m_i|t,\ \ \ \ i=1,2,\cdots,n$$ 从而 $t$ 是 $m_i,i=1,2,\cdots,n$ 的公倍数，而 $s$ 是 $m_i,i=1,2,\cdots,n$ 的最小公倍数，因此 $s|t$。
所以，综上，$s=t$，即 $$\mathrm{ord}(a_1,a_2,\cdots,a_n)=\left[\mathrm{ord}\ a_1,\mathrm{ord}\ a_2,\cdots,\mathrm{ord}\ a_n\right]$$

Problem Add 1

Let $G$ be a finite abelian group, show that $f : g \mapsto g^k$ is isomorphism iff $(k,|G|)=1$.

①
若 $f : g \mapsto g^k$ 是同构的，所以对于 $\forall\ g\in G$，有 $\mathrm{ord}\ g=\mathrm{ord}\ g^k$，也有 $\mathrm{ord}\ g^k=\mathrm{ord}\ g/(\mathrm{ord}\ g,k)$，即 $(\mathrm{ord}\ g,k)=1$，又有 $\mathrm{ord}\ g\ |\ |G|$，所以 $(k,|G|)=1$。
②
1. 单射：对于 $\forall\ g,h\in G$，若有 $g^k=h^k$，则有 $g^k\left(h^{-1}\right)^k=\left(gh^{-1}\right)^k=e$。由于 $(k,|G|)=1$，所以 $G$ 中任意元素的 $\mathrm{ord}$ 不为 $k$，也就是 $a^k=e$ 的解有且仅有 $e$。所以 $gh^{-1}=e$，即 $g=h$。
2. 双射：由于显然对于 $\forall\ g\in G$，$g^k\in G$，所以 $\left|\{g^k\}\right|\leqslant|G|$。由单射，$\left|\{g^k\}\right|\geqslant|G|$，所以 $\left|\{g^k\}\right|=|G|$。再由单射，可知 $f$ 为双射。
3. 保持运算：对于 $\forall\ g,h\in G$，显然有 $(gh)^k=g^kh^k$。
所以综上，$f : g \mapsto g^k$ 是同构映射。

Problem Add 2

Show that a group $G$ with order 145 is a cyclic group.

由于 $145=5\times 29$，由 Sylow 第一定理，$G$ 有 $\mathrm{Sylow}\ 5$ 子群 和 $\mathrm{Sylow}\ 29$ 子群。
设 $H,K$ 分别为 $G$ 的 $\mathrm{Sylow}\ 5$ 子群 和 $\mathrm{Sylow}\ 29$ 子群，则 $|H|=5$，$|K|=29$，从而 $H$ 和 $K$ 都是循环群。
设 $H=\langle a\rangle, G=\langle b\rangle$，则 $\mathrm{ord}\ a=5,\mathrm{ord}\ b=29$。
另一方面，$n_5=5t+1|29$ 且 $n_{29}=29t+1|5$，所以 $n_5=n_{29}=1$，所以 $H$ 和 $K$ 都是 $G$ 的正规子群，其中 $H\cap K=\{e\}$，又对于 $\forall\ h\in H,k\in K$，有 $hk=kh$，特别的 $ab=ba$。
由此得：$\mathrm{ord}\ ab=5\times29=145$，从而 $G$ 为循环群。