代数结构 群(II) 作业二

代数结构

陆一洲 5140309557

Page 79

Problem 2

证明：群 $G$ 的中心 $C(G)$ 是 $G$ 的正规子群。

对于 $\forall\ x\in C(G),\ g\in G$，有 $xg=gx$，可得 $gxg^{-1}=xgg^{-1}=x\in C(G)$，所以 $C(G) \triangleleft G$。

Problem 5

举例说明，如果 $H$ 是 $K$ 的正规子群，$K$ 是 $G$ 的正规子群，则 $H$ 不一定是 $G$ 的正规子群。

$$\begin{align*} H&=\{(1), (1\ 3)\}\\ K&=\{(1),(1\ 3),(2\ 4), (1\ 3)(2\ 4)\}\\ G&=\{(1),(1\ 3),(2\ 4), (1\ 3)(2\ 4), (1\ 2)(3\ 4), (1\ 4)(2\ 3), (1\ 2\ 3\ 4), (1\ 4\ 3\ 2)\}\\ \end{align*}$$

Problem 6

设 $G$ 为群，$H$ 是 $G$ 的子群。证明，$H$ 是 $G$ 的正规子群的充分必要条件是对任意的 $a,b\in G$，如果 $ab\in H$，则 $ba\in H$。

① 若$H\triangleleft G$，对于 $\forall\ a,b\in G$，如果 $ab\in H$，即 $b\in a^{-1}H$，即 $b\in Ha^{-1}$，即 $ba\in H$。
② 若对于 $\forall\ a,b\in G$，如果 $ab\in H$，则 $ba\in H$。所以对于 $\forall\ a\in G,\ b\in H$，有 $a^{-1}(ah)=h\in H$，所以有 $aha^{-1}\in H$，所以 $H\triangleleft G$。

Problem 9

设 $G$ 为群，$H$ 是群 $G$ 的子群。定义 $H$ 的正规化子 (normalizer) 为 $$N(H)=\{g\in G\mid gHg^{-1}=H\}$$ 证明：$N(H)$ 是 $G$ 的子群，$H$ 是 $N(H)$ 的正规子群。

为方便书写，设 $K=N(H)$
① 对于 $\forall\ a,b\in K$，有 $aKa^{-1}=K=bKb^{-1}$，可得 $b^{-1}aK\left(b^{-1}a\right)^{-1}=K$，所以 $b^{-1}a\in K$，即 $N(H)$ 为 $G$ 的子群。
② 对于 $\forall\ a\in K, h\in H$，显然由定义 $aHa^{-1}=H$，所以 $H\triangleleft N(H)$。

Problem 10

设 $G$ 为群，$H$ 是 $G$ 的子群。证明：$H$ 是 $G$ 的正规子群的充分必要条件是对 $G$ 的任一内自同构 $\phi, \phi(H)\subseteq H$。

① 如果 $H\triangleleft G$，设 $\phi$ 为 $G$ 的一个内自同构，则存在 $a\in G$，使得对于 $\forall\ x\in G$，有 $\phi(x)=axa^{-1}$。显然对于 $\forall\ h\in H$，有 $\phi(h)=aha^{-1}\in H$，所以有 $\phi(H)\subseteq H$。
② 如果对于 $G$ 的任一内自同构 $\phi$，有 $\phi(H)\subseteq H$，则对于 $\forall\ a,\ \exists\ G$ 的一个内自同构 $\phi$，使得 $\phi(x)=axa^{-1}$。从而对于任意的 $h\in H$，都有 $aha^{-1}=\phi(h)\in\phi(H)\subseteq H$，所以 $H\triangleleft G$。

Problem 11

设 $G$ 是群，$H \triangleleft G$，且 $[G:H]=m$。证明：对每个 $x\in G$，都有 $x^m \in H$。

因为 $H\triangleleft G$，又有 $[G:H]=m$，所以有 $|G/H|=m$。由此可得 $x^mH=(xH)^m=\bar{e}=eH=H$，所以 $x^m\in H$。