代数结构 群(II) 作业六

代数结构

陆一洲 5140309557

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Problem 1

证明：有限群 $G$ 有唯一的 $\mathrm{Sylow}\ p$ 子群 $P$ 的充分必要条件是 $P$ 是 $G$ 的正规子群。

① 若 $G$ 有唯一的 $\mathrm{Sylow}\ p$ 子群 $P$，则由推论 2，可得对于 $\forall\ g\in G$，都有 $gPg^{-1}=P$，所以 $P$ 是 $G$ 的正规子群；
② 若 $P$ 是 $G$ 的正规子群，则对于 $\forall\ g\in G$，可以得到与 $P$ 共轭的“其他” $\mathrm{Sylow}\ p$ 子群 $P'=gPg^{-1}=P$，所以 $G$ 有唯一的 $\mathrm{Sylow}\ p$ 子群 $P$；
综上，有限群 $G$ 有唯一的 $\mathrm{Sylow}\ p$ 子群 $P$ 的充分必要条件是 $P$ 是 $G$ 的正规子群。

Problem 2

设 $P$ 是有限群 $G$ 的一个 $\mathrm{Sylow}\ p$ 子群。证明：$P$ 是 $N(P)$ 中唯一的 $\mathrm{Sylow}\ p$ 子群，且 $N(N(P))=N(P)$
注：$P$ 的正规化子：$N(P)=\{g\in G\mid gPg^{-1}=P\}$

① 对于 $\forall\ h\in N(P)$，都有 $hPh^{-1}=P$，所以 $P$ 是 $N(P)$ 中唯一的 $\mathrm{Sylow}\ p$ 子群；
② 对于 $\forall\ h\in N(N(P))$，都有 $hN(P)b^{-1}=N(P)$，可得

$$hPh^{-1}\in hN(P)h^{-1}=N(P)$$ 所以 $hPh^{-1}$ 也是 $N(P)$ 的 $\mathrm{Sylow}\ p$ 子群，由 ① 可得 $hPh^{-1}=P$，所以 $h\in N(P)$，所以 $N(N(P))\subseteq N(P)$。 又显然，$N(P)\subseteq N(N(P))$，所以，$N(P)=N(N(P))$。

Problem 3

试求 $S_4$ 的 $\mathrm{Sylow}\ 2$ 子群。

由于 $|S_4|=4!=24$，所以此 $\mathrm{Sylow}\ 2$ 子群的阶数为 $8$，所以 $n_2|3$，即 $n_2=1$ 或 $3$。
又由于 $S_4$ 没有 $8$ 阶正规子群，所以 $n_2=3$。已知 $D_4$ 是 $S_4$ 的 8 阶子群，因此 $D_4$ 是 $S_4$ 的一个 $\mathrm{Sylow}\ 2$ 子群，另两个 $\mathrm{Sylow}\ 2$ 子群与 $D_4$ 共轭，可得三个 $\mathrm{Sylow}\ 2$ 子群分别为：$D_4,(1\ 2)D_4(1\ 2),(2\ 3)D_4(2\ 3)$。

Problem 4

试求 $A_4$ 的 $\mathrm{Sylow}\ 2$ 子群。

由于 $|A_4|=12$，所以此 $\mathrm{Sylow}\ 2$ 子群的阶数为 $4$，所以 $n_2|3$，即 $n_2=1$ 或 $3$。
又由于 $A_4$ 的 $4$ 阶子群 $K=\{(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}$ 为 $A_4$ 的正规子群。所以 $A_4$ 有唯一的 $\mathrm{Sylow}\ 2$ 子群 $K$。

Problem 6

$S_5$ 有多少个 $\mathrm{Sylow}\ 5$ 子群？试举出两个这样的子群。

由于 $|S_5|=5!=120$，所以此 $\mathrm{Sylow}\ 5$ 子群的阶数为 $5$，其显然为循环群，所以 $n_5=5t+1|24$，即 $n_5=1$ 或 $6$。显然有 $H=\langle(12345)\rangle$ 与 $K=\langle(12354)\rangle$ 符合要求，所以 $n_5=6$。

Problem Add

Group $G$ acts on set $X$. Let $G(x)$ denote the stabilizer of $x \in X$.
Prove: If $y = ax$ for $a \in G,\ x, y \in X$, then $G(y) = aG(x)a^{-1}$.

题中的 $G(x)$ 显然就是书中的 $S_x$，以下都将用 $S_x$ 表示。
对于 $\forall\ g\in G(y)$，有 $g(y)=y$，即有 $g(ax)=ax$，即 $(a^{-1}ga)(x)=x$，所以 $a^{-1}ga\in G(x)$，$g\in aG(x)a^{-1}$，即 $G(y) \subseteq aG(x)a^{-1}$；
对于 $\forall\ g\in aG(x)a^{-1}$，有 $(a^{-1}ga)(x)=x$，即有 $(a^{-1}ga)(a^{-1}y)=a^{-1}y$，即 $g(y)=y$，所以 $g\in G(y)$，即 $G(y) \supseteq aG(x)a^{-1}$；
综上，$G(y) = aG(x)a^{-1}$。