代数结构 环(I) 作业一

代数结构

陆一洲 5140309557

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Problem 1

判断下列集合 $S$ 关于所给运算是否构成环：
(1) $r\oplus s=2(r+s),r*s=rs,S=R$；
(2) $r\oplus s=2rs,r*s=rs,S=R-\{0\}$；
(3) $r\oplus s=rs,r*s=rs,S=R^+$；

(1) 否。不满足加法结合律。
(2) 否。不满足乘法对加法的分配率。
(3) 否。不满足乘法对加法的分配率。

Problem 4

证明：集合 $$\mathbf{Z}[\sqrt{3}]=\{a+b\sqrt{3}\mid a,b\in\mathbf{Z}\}$$ 关于通常数的加法与乘法构成一个有单位元的交换环。

1. 证明集合 $\mathbf{Z}[\sqrt{3}]$ 是关于通常数加法的交换群：
   
   • 加法封闭：对于 $\forall\ \alpha=a+b\sqrt{3},\beta=c+d\sqrt{3}$，有 $\alpha+\beta=(a+c)+(b+d)\sqrt{3}\in \mathbf{Z}[\sqrt{3}]$；
   • 显然满足加法结合律、交换律；
   • 有加法零元 $e=0=0+0\sqrt{3}$ 满足条件；
2. 证明集合 $\mathbf{Z}[\sqrt{3}]\backslash\{0\}$ 是关于通常数乘法的交换群：
   
   • 乘法封闭：对于 $\forall\ \alpha=a+b\sqrt{3},\beta=c+d\sqrt{3}$，有 $\alpha\cdot\beta=(ac+3bd)+(bc+ad)\sqrt{3}\in \mathbf{Z}[\sqrt{3}]$；
   • 显然满足乘法结合律、交换律；
   • 有单位元 $e=1=1+{0\sqrt{3}}$ 满足条件；
3. 显然乘法对加法的两个分配率成立。

所以，集合 $\mathbf{Z}[\sqrt{3}]=\{a+b\sqrt{3}\mid a,b\in\mathbf{Z}\}$ 关于通常数的加法与乘法构成一个有单位元的交换环。

Problem 17

指出下列结合中哪些是 $M_2(\mathbf{R})$ 的子环？
(1) $S=\left\{\begin{pmatrix} 0&b \\ c&d\end{pmatrix}\ \right |\ b,c,d\in \mathbf{R}\left. \right\}$
(2) $S=\left\{\begin{pmatrix} a&0 \\ c&d\end{pmatrix}\ \right |\ a,c,d\in \mathbf{R}\left. \right\}$
(3) $S=GL_2(\mathbf{R})$
(4) $S=\left\{\begin{pmatrix} a&b \\ b&a\end{pmatrix}\ \right |\ a,b\in \mathbf{R}\left. \right\}$

(1) 否。关于乘法不封闭。
(2) 是。
(3) 否。关于加法不封闭。
(4) 是。

Problem 18

设 $\mathcal{F}(\mathbf{R})$ 是全体实函数关于函数的加法与乘法所构成的环。问下列子集中有哪些是 $\mathcal{F}(\mathbf{R})$ 的子环？
(1) $S=\left\{f\in\mathcal{F}(\mathbf{R})\mid f(1)=0 \right\}$
(2) $S=\left\{f\in\mathcal{F}(\mathbf{R})\mid f(1)=0\ \mathrm{or}\ f(0)=0\right\}$
(3) $S=\left\{f\in\mathcal{F}(\mathbf{R})\mid f(2)\neq0 \right\}$
(4) $S=\left\{f\in\mathcal{F}(\mathbf{R})\mid f(3)=f(4) \right\}$

(1) 是。
(2) 否。关于加法不封闭。
(3) 否。关于加法不封闭。
(4) 是。