离散数学(2) 第五次作业

离散数学(2)

陆一洲 5140309557 of F1403020

九-3.

给出集合 $A$, $B$ 和 $C$ 的例子, 使 $A\in B$, $B\in C$ 但 $A\notin C$.

$$A=\{\phi\},\ B=\{\phi,\{\phi\}\},\ C=\{\{\phi,\{\phi\}\},\phi\}$$

九-4.

给出集合 A, B 和 C 的例子, 使 A∈B, B∈C 且 A∈C.

$$A=\phi,\ B=\{\phi\},\ C=\{\phi,\{\phi\}\}$$

九-15.

写出下列集合. 其中: $PP(A)=P(P(A))$, $PPP(A)=P(P(P(A)))$。
(1) $\bigcup\{PPP(\phi),PP(\phi),P(\phi),\phi\}$
(2) $\bigcap\{PPP(\phi),PP(\phi),P(\phi)\}$

$$\begin{align*} P(\phi)&=\{\phi\}\\ PP(\phi)&=\{\phi,\{\phi\}\}\\ PPP(\phi)&=\{\phi,\{\phi\},\{\{\phi\}\},\{\phi,\{\phi\}\}\}\\ \bigcup\{PPP(\phi),PP(\phi),P(\phi),\phi\}&=PPP(\phi)\\ \bigcap\{PPP(\phi),PP(\phi),P(\phi)\}&=P(\phi)\\ \end{align*}$$

九-19.

给出下列命题成立的充要条件:
(1) $(A-B)\cup(A-C)=A$
(2) $(A-B)\cup(A-C)=\phi$
(3) $(A-B)\cap(A-C)=\phi$
(4) $(A-B)\oplus(A-C)=\phi$

(1) $A\subseteq\overline{B\cap C}$
(2) $A\subseteq B\cap C$
(3) $A\subseteq B\cup C$
(4) $A\cap B=A\cap C$

九-26.

(1) 若 $A\times B=$ , 则 $A$ 和 $B$ 应满足什么条件.
(2) 对集合 $A$, 是否可能 $A=A\times A$.

(1) $$A\times B=\phi\Rightarrow\{(x,y)\mid x\in A,y\in B\}=\phi\Rightarrow A=\phi\vee B=\phi$$
(2) 可能，当且仅当 $A=\phi$。

十-10.

设 $R$, $S$ 和 $T$ 是 $A$ 上的关系，证明 $R\circ(S\cup T)=(R\circ S)\cup(R\circ T)$

$$\begin{align*} &\langle x,y \rangle\in R\circ(S\cup T)\\ \Leftrightarrow&\exists\ z(\langle x,z\rangle\in(S\cup T)\wedge\langle z,y\rangle\in R)\\ \Leftrightarrow&\exists\ z((\langle x,z\rangle\in S\vee\langle x,z\rangle\in T)\wedge\langle z,y\rangle\in R)\\ \Leftrightarrow&\exists\ z((\langle x,z\rangle\in S\wedge\langle z,y\rangle\in R)\vee(\langle x,z\rangle\in T\wedge\langle z,y\rangle\in R))\\ \Leftrightarrow&\exists\ z(\langle x,y\rangle\in R\circ S\vee\langle x,y\rangle\in R\circ T)\\ \Leftrightarrow&\langle x,y \rangle\in (R\circ S)\cup(R\circ T) \end{align*}$$

十-16.

对集合 $A=\{1,2,\cdots,10\}$。$A$ 上的关系 $R$ 和 $S$ 各有什么性质。

$R=\{\langle x,y\rangle\mid x+y=10\}$ 对称性
$S=\{\langle x.y\rangle\mid 2\mid x+y\}$ 对称性、自反性、传递性

十-18.

对 $A$ 上的关系 $R_1$ 和 $R_2$，判定下列命题的真假，真则证明之，假则举反例。
(1) 若 $R_1$ 和 $R_2$ 是自反的，则 $R_1\circ R_2$ 是自反的；
(2) 若 $R_1$ 和 $R_2$ 是非自反的，则 $R_1\circ R_2$ 是非自反的；
(3) 若 $R_1$ 和 $R_2$ 是对称的，则 $R_1\circ R_2$ 是对称的；
(4) 若 $R_1$ 和 $R_2$ 是传递的，则 $R_1\circ R_2$ 是传递的；

(1) 真。$\langle x,x\rangle\in R_1\wedge\langle x,x\rangle\in R_2\Rightarrow\langle x,x\rangle\in R_1\circ R_2$
(2) 假。$R_1=R_2=\{\langle0,1\rangle,\langle1,0\rangle\},R_1\circ R_2=\{\langle0,0\rangle,\langle1,1\rangle\}$
(3) 假。$R_1=\{\langle0,1\rangle,\langle1,0\rangle\},R_2=\{\langle1,2\rangle,\langle2,1\rangle\},R_1\circ R_2=\{\langle2,0\rangle\}$
(4) 假。$R_1=\{\langle0,1\rangle,\langle1,2\rangle,\langle0,2\rangle\},R_2=\{\langle2,0\rangle,\langle0,1\rangle.\langle2,1\rangle\},R_1\circ R_2=\{\langle2,1\rangle,\langle2,2\rangle,\langle0,2\rangle\}$