代数结构 群(II) 作业五

代数结构

陆一洲 5140309557

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Problem 1

设 $X=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$，$G$ 是由 $X$ 的六个置换 $$(1),\ \ \ (123)(456),\ \ \ \ (132)(465),\\(78),\ \ \ (123)(456)(78),\ \ \ (132)(465)(78)$$
所组成的群。
(1) 写出 $X$ 的各元素的稳定子和轨道；
(2) 写出 $G$ 的各元素的不动元素。

(1)

$X$的元素	稳定子	轨道
1	$S_1=\{(1),(78)\}$	$O_1=\{1,2,3\}$
2	$S_2=\{(1),(78)\}$	$O_2=\{1,2,3\}$
3	$S_3=\{(1),(78)\}$	$O_3=\{1,2,3\}$
4	$S_4=\{(1),(78)\}$	$O_4=\{4,5,6\}$
5	$S_5=\{(1),(78)\}$	$O_5=\{4,5,6\}$
6	$S_6=\{(1),(78)\}$	$O_6=\{4,5,6\}$
7	$S_7=\{(1),(123)(456),(132)(465)\}$	$O_7=\{7,8\}$
8	$S_8=\{(1),(123)(456),(132)(465)\}$	$O_8=\{7,8\}$

(2)

$F_{(1)}=X$
$F_{(123)(456)}=\{7,8\}$
$F_{(132)(465)}=\{7,8\}$
$F_{(78)}=\{1,2,3,4,5,6\}$
$F_{(123)(456)(78)}=\varnothing$
$F_{(132)(465)(78)}=\varnothing$

Problem 3

设群 $G$ 在集合 $X$ 上的作用是传递的。证明：如果 $N$ 是 $G$ 的正规子群，则 $X$ 在 $N$ 作用下的每个轨道有同样多的元素。

因为群 $G$ 在集合 $X$ 上的作用是传递的，所以 $\exists\ x_0\in X$，使得 $O_{x_0}=\{gx_0\mid g\in G\}=X$。
则对于 $\forall\ x\in X$，$\exists\ g\in G$，使得 $x=gx_0$，所以有

$$\left|O_x\right|=\left|O_{gx_0}\right|=\left|\{ngx_0\mid n\in N\}\right|$$ 即证，对于 $\forall\ g\in G$，有 $\left|\{ngx_0\mid n\in N\}\right|=C$。（$C=|N|$）
由于 $ng\in G$ 且 $O_{x_0}=X$，所以对于 $\forall\ ngx_0\in X$，都存在 $ng$ 与其对应。（满射）
所以即证，对于 $\forall\ g\in G,\ n_1,n_2\in N$，若有 $n_1gx_0=n_2gx_0$，则有 $n_1= n_2$。（证明单射）
由于 $N$ 是正规子群，只存在于唯一的 $g$ 使得 $n_1=gn_2g^{-1}$，若 $n_1\neq n_2$，则 $n_1g\neq n_2g$。
那么，若（证明单射）不成立，那么就需要对于 $\forall\ g_1=n_1g,g_2=n_2g\in G$，有 $g_1x_0=g_2x_0$，则显然 $|O_{x_0}|=1$，$O_{x_0}\neq X$，产生矛盾。
所以，$X$ 在 $N$ 作用下的每个轨道有同样多的元素。

Problem 4

设群 $G$ 作用在集合 $X$ 上，$x,y\in X$。证明：如果存在 $g\in G$，使 $y=gx$，则 $S_y=gS_xg^{-1}$。

改变一个题目中的变量名称：$g\rightarrow g_0$，证明：如果存在 $g_0\in G$，使 $y=g_0x$，则 $S_y=g_0S_xg_0^{-1}$。

$$\begin{align*} S_y&=\left\{g\in G\mid gy=y\right\}\\ &=\left\{g\in G\mid gg_0x=g_0x\right\}\\ &=\left\{g\in G\mid g_0^{-1}gg_0x=x\right\}\\ &=\left\{g_0gg_0^{-1}\in G\mid gx=x\right\}\\ &=g_0\left\{g\in G\mid gx=x\right\}g_0^{-1}\\ &=g_0S_xg_0^{-1} \end{align*}$$

Problem 6

计算正十二面体的旋转变换群的元素的个数。

将正十二面体的 12 个面依次标记为 1,2,3,...,12，则正十二面体的每一个旋转变化都导致集合

$$X=\{1,2,3,\cdots,12\}$$ 的一个变化。这就定义了正十二面体的旋转变换群 $G$ 在 $X$ 上的一个作用。由于正十二面体的每一个面都是正五边形，$O_1=X$，$S_1=5$。所以 $$|G|=|O_1||S_1|=60$$