代数结构 第三次作业

代数结构

陆一洲 5140309557

Problem 1-5 1

(1) 7
(2) 8
(3) 10
(4) 14
(5) 15
(6) 18

Problem 1-5 5

$U(9): 2,5$
$U(10): 3,7$
$U(13): 2,6,7,11$
$U(14): 3,5$

Problem 1-5 12

若阶为无限，显然成立，下证阶有限之时：
设 $\mathrm{ord}\ a=r_1$, $\mathrm{ord}\ gag^{-1}=r_2$，则 $$\begin{align*} a^{r_2}=g^{-1}(gag^{-1})^{r_2}g=e\\ (gag^{-1})r_1=ga^{r_1}g^{-1}=e \end{align*}$$ 由此可得 $r_2\geqslant r_1, r_1\geqslant r_2$，从而 $r_1=r_2$，所以 $gag^{-1}$ 与 $a$ 有相同的阶。

Problem 1-6 5(1)(4)

(1) $(135)(24)$ 奇
(2) $(135)(246)$ 偶

Problem 1-6 12

$$\begin{align*} H_1&=\{(1)\}\\ H_6&=S_3\\ H_{21}&=\{(1),(12)\}\\ H_{22}&=\{(1),(13)\}\\ H_{23}&=\{(1),(23)\}\\ H_3&=\{(1),(123),(132)\} \end{align*}$$

Problem 1-6 24

设 $O$ 为所有奇置换，$E$ 为所有偶置换，$\sigma$ 为 $G$ 的任一奇置换，则有 $$\begin{align*} \sigma O=\{\sigma\delta\mid\delta\in O\}\subseteq E\\ \sigma E=\{\sigma\tau\mid\tau\in E\}\subseteq O \end{align*}$$ 因此 $$\begin{align*} |O|=|\sigma O|\leqslant|E|\\ |E|=|\sigma E|\leqslant|O| \end{align*}$$ 由此可得 $|O|=|E|$。

Problem 1-6 25

因为 $(1)\in G$ 为偶置换，所以 $(1)\in H$，从而 $H$ 非空。
又由于两个偶置换的乘积依然为偶置换，所以 $H$ 关于置换的乘积封闭。
所以 $H$ 是 $G$ 的子群。