自动控制原理

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第一章 自动控制基本概念

• 常用变换对要记（积分微分，惯性滞后，正弦余弦）
• 开环传函多用于设计？（频域分析串联校正）闭环传函多用于分析？（时域分析看稳态）这一观点是否正确。

第二章 连续系统的数学模型

2.1 传函的概念

• 怎么来的（输入单位脉冲相应的拉氏变换

微分方程的解满足叠加定理，即系统的输出为零初始条件下输入作用的系统输出和零输入条件下初始状态作用的系统输出之和。
[ ] 模态是什么?如果不是零初始条件，看p25(2.29)原式没有看出什么影响。
- 零初始条件下，线性定常系统输出的拉氏变换与输入的拉氏变换比，称为该系统的传递函数，简称传函。根据输入输出点的不同，有一个系统的开环传函和闭环传函。
- 当输入为单位脉冲时的输出相应称为单位脉冲响应函数，同理，控制系统在单位阶跃输入信号的作用下输出称为单位阶跃响应(闭环传函*$\frac{1}{s}$)。
- 惯性特性：分析系统要考虑延时效应（纯滞后现象）。如p28的皮带。延时效应在传函中的表现为增加了$e^{-ts}$

2.2 方框图化简

• 方框图化简好烦，最后回来看

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第三章 时域分析法

3.1 稳定性分析

判断系统是否稳定的问题，称为绝对稳定性分析。事实上，对于稳定或者不稳定的系统，还需要进一步分析系统稳定或者不稳定的程度，这成为系统的相对稳定性分析。

• 劳斯判据，右半边s平面根的个数（①首列出现零 ②出现零行）

• 首列符号相同，必要时可同行乘一个系数，你计算能力不好，不要作。
• 第一行出现零，用一个很小的正数如$a$代替零继续算。
• 如果某一行全为零，表明 系统存在对称于原点的特征根。或存在实部符号相反、虚部数值相等的两对共轭复根(p69)。做辅助方程，此时辅助方程可以解出这些对称于原点的特征根。辅助方程或多项式的最高幂次总是偶数，它等于对称于原点的特征根个数。

3.2 暂态性能分析

系统不稳定时，任何扰动都会使系统的输出趋于无穷，所以系统稳定是系统能够正常工作的前提。但对于稳定系统，还需要有较好的动态性能。一般要求系统跟踪输入变化的速度要快，跟踪精度要高。因此，在分析系统稳定性的基础上，进一步分析系统的暂态性能和稳态性能。

• 性能指标计算没有，应该会出概念题，二阶系统常规形式，惯性环节经典形式等。主导极点要看。

• 暂态性能指标也是在零初始条件下求得，稳定系统阶跃响应可简单分类为单调变化和衰减振荡。
• • 超调量（最大值减终值除以终值）
• • 最大超调时间tp（达到最大值的时间）
• • 上升时间tr（当系统的阶跃响应第一次打到稳态值的时间）
• • 调节时间ts（当系统的阶跃响应衰减到给定误差带内不再超出）

3.2.1 一阶系统暂态性能

• 微分方程和传递函数描述：
  $$T\dot{c}(t)+c(t)=Kr(t)$$

$$\phi(s)=\frac {C(s)}{R(s)}=\frac {K}{Ts+1}$$

• • 对上式输入单位阶跃信号，部分分式并反拉氏变换得到系统单位阶跃响应。一阶系统单位阶跃响应曲线单调上升。没有超调时间和超调量的概念，用上升时间和调节时间作为暂态性能指标。
    $$C(s)=\frac {\phi(s)}{s}=\frac {K}{s(Ts+1)}$$

$$C(s)=K(\frac {1}{s}-\frac {1}{s+1/T})$$

$$c(t)=L^{-1}[C(s)]=K(1-e^{-1/T})$$

3.2.2 二阶系统暂态性能

• 3.2.5高阶系统部分考不考，主导极点考到什么程度
• 暂态分量和稳态分量是什么。
  （一般反馈系统）从输入端定义的偏差信号e(t)中，包含暂态分量$\sideset{}{_{st}}e$（也是动态误差）和稳态分量$\sideset{}{_{ss}}e$（也是稳态误差）两部分。
• 等幅振荡怎么能算临界稳定状态p82
• 典型二阶欠阻尼具体关系在本子上
• • 典型二阶系统的数学模型
    $$T^2\ddot{c}(t)+2\zeta T\dot{c}(t)+c(t)=r(t)$$

$$\phi (s)=\frac {1}{T^2s^2+2\phi Ts+1}=\frac {{\sideset{}{_n}\omega}^2}{s^2+2\zeta \sideset{}{_n}\omega s+{\sideset{}{_n}\omega}^2}$$

其中$\zeta$为阻尼比，$\sideset{}{_n}\omega$为自然振荡频率。

• • 典型二阶系统的阶跃相应
    过阻尼和临界阻尼都是单调上升的，他们的特征根是实数，可以看到振荡环节在欠阻尼（无阻尼不知道这里算不算的进去），得出总结复极点代表振荡。
    $$\sideset{}{_{1}}s=-\zeta \sideset{}{_n}\omega+{(\zeta^2-1)}^{0.5}\sideset{}{_n}\omega$$

$$\sideset{}{_{2}}s=-\zeta \sideset{}{_n}\omega-{(\zeta^2-1)}^{0.5}\sideset{}{_n}\omega$$

• • • $\zeta>1$，过阻尼
      特征根为两不相等实数，单位阶跃相应单调上升。
• • • $\zeta=1$，临界阻尼
      特征根为重实根为$-\sideset{}{_n}\omega$，单位阶跃响应单调上升。
• • • $0<\zeta<1$，欠阻尼
      特征根是具有复实部的共轭复数。阶跃响应振荡衰减。
• • • $\zeta=0$，无阻尼
      特征根为为一对纯虚数，单位阶跃响应为等幅振荡。
• • • $\zeta<0$，负阻尼
      发散。

3.2.3 主导极点的概念

• p88两个画圈变量是啥
• 首先看是不是所有极点都在左半平面。
• 主导极点，说的是离虚轴比较近的点，因为对超调量，上升时间影响大。
• 若某极点临近有一个零点，该几点对应的部分分式系数小。因此可以忽略该极点引起的暂态分量。

3.3 稳态性能分析☆

• 常用输入信号有没有给出来，会不会比如说就说抛物线信号，斜坡信号。

• 给定信号，扰动信号都有，照书上例题。求稳态误差，要看终值定理，是误差稳态为零该怎么取参数类题

• 我记得这里是不是有错，考试一般遇到的还是
  
  1. 从输出端定义误差
     系统的实际输出量c(t)与期望输出量$\sideset{}{_r}c(t)$之差定义为系统的误差信号。
     $$e(t)=\sideset{}{_r}c(t)-c(t)$$
  2. 从输入端定义误差
     $$e(t)=r(t)-y(t)$$

$$E(s)=R(s)-C(s)H(s)$$
3. 两种误差的关系，且在本书中，如无说明均为从输入端定义的误差。
$$E2(s)=H(s)E1(s)$$

3.3.1 控制系统型号或误差度的定义

• 控制系统按照他们跟踪阶跃输入、斜坡输入、抛物线输入等信号的能力来分类。而系统跟踪输入信号的能力主要取决于开环传递函数中所包含的积分环节的数目，也就是分母s的幂次（只有s，{s+pi}不算在内）。该幂次也称为系统的型号或者无差度。但系统的阶数是按闭环传函分母最高次来算的。

3.3.2 终值定理法

• r(t)=Rsin wt变换对要不要记
• 是否所有虚轴上有极点的系统都不存在稳态误差。
• 原理：用拉氏变换中的终值定理计算稳态误差终值。
• $sF(s)$在右半平面虚轴上没有极点的前提下$f(\infty)=\lim \limits_{t\to \infty}f(t)=\lim \limits_{s\to 0}sF(s)$，而且对于稳态误差也有$\sideset{}{_{ss}}e(\infty)=\lim \limits_{t\to \infty}e(t)=\lim \limits_{s\to 0}sE(s)$。
• 使用步骤：先算sE(s)，判断极点在哪里，再计算$\lim\limits_{s\to 0}sE(s)$。当计算出极点位于原点（二阶系统不可能），虽然极点在虚轴上，但是计算出来的稳态误差终值为无穷大刚好与实际应有结果一致，所以在原点有极点时也能用终值定理来求，是巧合。
• 如果算出来虚轴上有极点，不能用终值定理，而可由E(s)通过拉氏逆变换求得。书上例题显示e(t)为一个随t变换的，且不收敛的函数，不存在误差终值。

• E(s)极点由误差传函和输入信号一起组成。

• 对于没法完全分解的分母，使用劳斯判据判断sE(s)是否满足终值定理条件，需要满足第一列同号，不出现全零行（第一列全同号，说明没有正实部根，没有全零行，说明没有纯虚根）。

3.3.5 扰动作用下的稳态误差分析

• 给定输入作用产生的误差通常称为系统给定误差，简称误差；扰动产生的误差成为系统扰动误差。
  $$E(s)=\sideset{}{_e}\phi (s)R(s)+\sideset{}{_{eN}}\phi (s)N(s)$$
• 首先算出给定误差传递函数$\sideset{}{_e}\phi (s)$和$\sideset{}{_{eN}}\phi (s)$，用终值定理计算两个稳态误差。
• 扰动作用下的稳态误差只与扰动作用点之前的传递函数积分环节个数与传递函数有关。而输入下的稳态误差与系统整个开环传递函数积分环节数与传递函数有关。
• 书上用G1，G2的形式非常恶心，这里看看书上和卷子上的例题再回来看书。
• p105前馈有问题，先问老师复合控制系统考不考，再复习，先看到扰动。

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第五章 频率法

5.1 频域法

• 频域表达方式，概念

• 频率特性仅适用于线性定常系统。正弦输入信号作用下的稳态响应为系统的频率响应。
• 传函：$G(s)=C(s)/R(s)$；频率特性：$G(jw)=C(jw)/R(jw)$
• 指数形式，极坐标形式中有幅频特性$A(w)$相频特性$\varphi (w)$;代数形式里有实频特性$U(w)=Re[G(jw)]$和虚频特性$V(w)=Im[G(jw)]$
• 频率响应表达式：$y(t)=R|G(jw)|\sin(wt+\varphi)$
• 5.1.2节需要答疑！
• 频率法是一种图解方法，主要有奈奎斯特图、伯德图和尼科尔斯等频率特性图。
• • 奈奎斯特图画不精确，分析系统(绝对)稳定性。
• • 伯德图分析相对稳定性。
• • 伯德图分析闭环频域指标比较难，此时需要尼克尔斯图，不过尼克尔斯图总的来讲用的少。

5.2 伯德图（想象代数表示）

• 伯德图与传函相互转化，卷子上伯德图应该什么都没标，求各频率，斜率目视大法。
• 伯德图的相频特性在判断稳定性的部分要考。
• 最小相位系统的幅频，相频特性一一对应。非最小相位系统

• 3dB矫正的部分！
• 需要注意！区分伯德图的标准型和正常零极点模式的传函是不一样的！不管分子分母，都是$(1+as+bs^2)$的形式。
• 先做幅频特性和相频特性（理论），然后绘制实际幅频相频特性。此时如果误差较大可能不是非最小相位系统。

5.3 奈奎斯特（想象几何表示）

• 奈奎斯特稳定判据推导还没看，大概怎么做的，但是推导p159底下的两句话没看懂，后面的就看不下去，（-1，j0）这个点怎么来的。

• 奈奎斯特曲线会画
• 奈奎斯特判据会用（比较原始的实验数据都是频率特性，奈奎斯特可以直接用频率特性判断稳定性）

• 奈奎斯特判据的使用：
  （1）画出奈奎斯特曲线
  （2）确定奈氏曲线绕（-1，j0）的圈数N。正穿越-负穿越
  （3）确定开环传递函数在右半s平面极点数P，最小相位系统P=0。
  （4）闭环右半平面极点个数Z=N+P

• 曲线使用
  （1）看有没有原点的特征根，选择曲线类型（?）
  （2）看包围（-1,0）的圈数（实线+虚线）

• 当G(s)和H(S)存在零极点对消时，先根据开环传递函数，再用奈奎斯特稳定判据得到右半平面闭环极点数Z1，再加上对消掉的不稳定的开环极点数Z2，得到系统在右半平面闭环极点的总数Z=Z1+Z2。

5.4 相对稳定性

• 不直接考，但相对稳定性可以用来判断稳定性
• 初步推测为伯德图>>相对稳定性>>判断系统稳定

5.5 最小相位系统

• 线性系统可以分为最小相位系统和非最小相位系统。如果系统的传递函数在右半s平面上没有极点和零点，而且不包含滞后环节，则称为最小相位系统。
• 在伯德图上，若一个最小相位系统和一个非最小相位系统具有相同幅频特性，则最小相位系统的相角滞后总是小于其他的相角滞后。(积分环节，惯性环节，振荡环节才滞后，但微分明明比最小相位超前啊？)
• p147微分环节相角超前问题
• 根据幅频特性就可以写出一个最小相位系统的相频特性（不考虑不稳定环节，滞后环节等）。

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第六章 线性系统的校正方法

• 概念。作用

• 串联校正，改变零极点
• 并联校正，改变零极点
• 反馈矫正，改变零极点，抑制反馈环内部的扰动对系统的影响，不宜多，精度高
• 前馈校正，复合控制，不改变系统闭环极点，提高控制精度

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• 分析法，试探法，结构已知参数可调，在原有系统上校正。如超前、滞后、滞后超前
• 综合法，期望特性发。重新构建满足要求的目标数学模型，使系统校正后的数学模型等于期望的数学模型。
• 本章介绍的都是频域法。

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• 有源无源物理实现管不管
• 实际校正中一般需要矫正的参数：稳态误差，开环系统截止频率，相位裕度，幅值裕度等。利用超前网络的超前特性。

• 超前校正（p191记图），减小相角滞后，抬高相位裕度，幅值裕度，增加截止频率。
  

  $$\sideset{}{_c}G(s)=\frac {1+aTs}{1+Ts}, a>1$$ ,
  • 利用超前相角补偿系统的滞后相角，改善系统的动态性能，增加相位裕度，提高系统稳定性等。有最大超前相角$\sideset{}{_m}\varphi$和对应$\sideset{}{_m}\omega$，都只与a有关，理论最大补偿相角为九十度，但其实不能达到，一般不超过六十五度。
  • T和转折频率有关，相角补偿越大，高频干扰越严重。

• 滞后校正（p200看图），降低截止频率，增加低频增益（？），提高系统稳态精度。利用高频衰减特性
  

  $$\sideset{}{_c}G(s)=\frac {1+aTs}{1+Ts}, a<1$$ ,
  • 滞后校正高频段是负增益，对系统中高频噪声有削弱作用，增强抗干扰能力。利用滞后校正的这一低通滤波搜造成的高频衰减特性，降低系统的截止频率。应避免最大滞后相角发生在系统的截止频率附近。
  • 保持暂态性能不变的基础上提高开环增益。

• 滞后-超前校正

  • 超前校正通常可以改善控制系统的快速性和超调量，但增加带宽。适用于稳定裕量较大的系统。
  • 滞后校正可改变超调量及相对稳定度，但往往会因带宽减小而使快速性下降。

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第七章 离散系统控制理论

• 离散系统极点分布于动态响应关系。

7.1 一道大难题☆

• 在系统中有零阶保持器，多个采样开关，采样开关位置可能变动，写开环脉冲/闭环脉冲传函。

• 做题。

7.2 朱利判据

• 给定传函判断稳定性(目测为水水的计算)

• 当一行只有三个数，表就画完了。
• D(1)>0
• n为偶数，D(-1)>0；n为奇数，D(-1)<0；
• a0
• 相乘的感觉和劳斯相反而且不用除。

7.3 离散系统稳态误差

• 终值定理，$\lim\limits_{z\to 1}F(z)$

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第八章 非线性控制系统分析

• 判断是否自激振荡和确定幅值，描述函数不用背，有滞后环节。