现代控制理论_final

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第一章 控制系统的状态空间模型

1.1 状态空间模型

• 状态空间模型前两章讲的是对【被控对象】的数学建模
• 传递函数和状态空间模型的区别(p5)
• 状态向量是可以完整描述系统运动状况的数目的最少一组变量，状态变量某一时刻的值称为系统在该时刻的状态，将构成状态变量的一组变量写成列向量的形式，所得到的向量称为状态向量，状态向量所有可能取值的全体构成的集合叫状态空间，状态向量某一时刻的值是状态空间中一个点，随着时间变化，状态变量在状态空间中描绘出一条轨迹，称为状态轨迹。
• 状态空间模型
  $$\dot{x}=Ax+Bu\\y=Cx+Du$$
  
  • x是n维状态向量
  • u是m为输入向量
  • y是r维输出向量
  • A是nxn维状态矩阵，反映系统内部各变量间耦合关系
  • B是nxm维输入矩阵，反映个输入量如何影响状态变量
  • C是rxn维输出矩阵，表明了状态变量到输出的转换关系
  • D称为直接转移矩阵，反映了输入对输出的直接影响，一般情况下，很少有输入量直接传递到输出端，所以矩阵D常常是零矩阵
• 线性系统的状态空间模型由系数矩阵ABCD唯一决定。
• 把哪些量选为输出量，要根据需要来决定，其数量不限，但总不会超过状态分量的个数
• 状态空间模型四元组中ABCD矩阵各分量均为常数，则称这样的系统为线性定常系统或时不变系统，时不变系统在物理上代表结构和参数都不随时间变化的一类系统，若系统的参数或结构随时间的变化过程与系统的动态过程相比足够的慢，则可以将它看成一个时不变系统
• 所有系统都是非线性系统，那为什么还要研究线性系统呢？p(9)
• 如何选取一个系统的状态变量？
  
  • 尽量选取能直接测量到的物理量，也可选取为了分析、研究需要但却不能测量到的量作为状态变量
  • 对于一个物理系统，通常可选择系统中反映独立储能元件状态的特征量作为状态变量。例如电路中电容两端的电压，流过电感的电流，机械系统中的速度和位置均可作为系统的状态变量
  • 选取的状态变量应该是相互独立的
  • 考虑易确定初值的变量
• p11-13物理建模例子没有看

1.2 传递函数和状态空间模型间的转换

• 通过试验方法确定系统的传递函数，进而得到系统的状态空间模型，这种从系统的外部描述求其内部描述的过程称为系统的实现，由此得到的状态空间模型称为系统传递函数状态空间的实现，而给定传递函数后，选取不同的状态变量得到的状态空间实现不唯一。
• 传递函数分解为两个环节的并联#结构图 p14
• 能控标准型p18模拟图（状态变量图 )推导
• 在处理一些复杂系统的建模时，可以用分解的思想来求解，即将复杂系统分解成若干个环节的串联、并联、反馈等是非常有用的。
  
  • 串联法
  • 并联法：并联为多个一阶惯性环节，化为对角标准型p21，变量之间没有耦合
  • 若传递函数有多重极点，化约当块实现p23,具体为重根的重数等于约当块阶数，分子常数对应到输出矩阵，约当块和呈对角分布，其余填零。
  • 能观标准型p25
• 由状态空间模型求传递函数$G(s)=C(sI-A)^{-1}B+D$
• 按前面说道，一个传函可以导出多个状态空间模型，则上式也可等价变换为$G(s)=G^T(s)=B^T(sI-A^T)^{-1}C^T+D$
  而该状态空间模型的对偶模型
  $$\dot{\tilde{x}}=((A^T)^T\bar{x}+(B^T)^Tu=A\bar{x}+Bu\\ y=(C^T)^T\bar{X}+Du=C\bar{x}+Du$$

1.4 状态空间模型的性质

$x=T^{-1}\bar{x}\\ \bar{A}=TAT^{-1}\\ \bar{B}=TB\\ \bar{C}=CT^{-1}\\ \bar{D}=D$

• 当矩阵A的特征值是复数的时候，尽管这些复特征值互不相同，也可以按照以上方法得到具有对角形态矩阵的等价状态空间模型，不过响应特征向量中也出现复数。复数物理意义不清晰，求矩阵指数函数也会遇到麻烦，尽量避免。模态标准型p33
• 等价的状态空间模型具有相同的传递函数
• 等价的状态空间模型具有相同的极点
  $det(sI-\bar{A})=det(sI-TAT^{-1})=det(T)det(sI-A)det(T^{-1})=det(sI-A)$

第二章 系统的运动分析

2.1 齐次状态方程的解

• 系统初始状态对系统的影响可以看做是零初始条件下系统对一个适当的脉冲输入的响应
• 叠加原理：系统对初始条件$x(0)=x_0$的响应（零输入响应）和系统对输入信号$u(t)$的响应（零状态响应）的叠加得到了我们需要的系统响应。
• $e^{At}=I+At+...+\frac{1}{n!}A^nt^n+...$
• 性质：求$e^{At}$对时间导数：对上式逐项微分，可提出一个A，有$e^{At}=Ae^{At}$
  则此时当$t=0，e^{A·0}=I$，回顾$x(t)=e^{at}x(0)$此处有$x(t)=e^{at}x(0)$
  当$t_0\ne0$，上式变形为$x(t-t_0)=e^{at}x(t_0)$，该式为齐次方程$\dot{x}=Ax(t)$的解的推导，则为求解该齐次方程，引入矩阵指数函数。
• 求齐次方程$\dot{x}=Ax(t)$的拉普拉斯变换方法：
  $x(t)=L^{-1}[(sI-A)^{-1}]x(0)$
• 矩阵指数函数$e^{At}$在系统的时域分析中起着重要作用一样，矩阵$(sI-A)^{-1}$在频域分析中起着重要的作用，它就是预解矩阵
• p40页有一种预解矩阵求解方式，p41页有一种引申的A特征多项式求解方式，主要针对计算机编程实现，也可由$a_{n-1}>>H_{n-2}>>a_{n-2}>>H_{n-3}>>...$一直手算下去>_>.注意其中H是针对a$dj(sI-A)$
• 状态转移矩阵依赖于时间$t$和初始时间$t_0$

2.2 状态转移矩阵

2.2.1 状态转移性质：

• $\Phi(0)=I,$
• $\dot{\Phi}(t)=A\Phi(t)$
• 对任意t和s，有$\Phi(t+s)=\Phi(t)\Phi(s)$
  注意变化量s可为负，但考虑物理实现的因果性，总时刻需为正
  
  • 对任意$t,\Phi(t)$可逆，且$\Phi(t)=\Phi(-t)$
  • 利用性质的题型：
• 已知状态转移矩阵求A，状态矩阵微分

2.2.2 状态转移矩阵的计算

• 用定义直接计算($\sum{\frac{1}{n!}A^nt^n}$)
• 拉普拉斯
  $e^{At}=L^{-1}[(sI-A)^{-1}]$并注意$\frac{a}{s+b}>>ae^{-at}$
• 线性变换
  
  1. 对角阵
  2. （没有重根）可对角化的矩阵
     
     • 求$T$：求特征向量$P_i$，对于每一个特征值$\lambda_i$：计算$AP_i=\lambda_iP_i$（特征向量不唯一，定下来的只是方向这种感觉，可能线性放大缩小）
     • $D=TAT^{-1}=e^{At}$
  3. （有重根）可等价变换为约当块的矩阵p47
     
     • $J=TAT^{-1},e^{At}=T^{-1}e^{Jt}T$
• 凯莱-哈密尔顿法

2.3 非齐次状态方程的解

2.3.1 解x(t)

1. 直接法
   
   • 由原状态方程做积分得到，过程中使用了状态转移矩阵微分性质
     $$\dot{x}(t)=Ax+Bu\\ x(t)=e^{At}x(0)+\int_{0}^{t}e^{A(t-\tau)}Bu(\tau)d\tau$$
2. 拉普拉斯变换法
   
   • 对原输入方程作拉普拉斯变换把X(s)放到一边然后反变换
     $$sX(s)-X(0)=AX(s)+BU(s)\\ x(t)=L^{-1}[(sI-A)^{-1}]x(0)+L^{-1}[(sI-A)^{-1}BU(s)]$$

2.3.2 输出y(t)

• p55y，基本上就是把x(t)前部分乘上C，记x(t)代入就好，可见y(t)由三部分组成。零输入响应，零状态响应和系统输入直接传输部分
  $$y(t)=Cx(t)+Du(t)=Ce^{At}x(0)+C\int_{0}^{t}e^{A(t-\tau)}Bu(\tau)d\tau+Du(t)$$

2.5 离散时间状态空间模型

2.5.1 模型推导

• 采样周期T的选择满足香农采样定理
• 系统具有零阶保持特性，在两个采样时刻之间信号值保持不变
  $$x^*(t)=x(t),t=kT\\ 则u(t)=u(kT),kT\le t<kT+T\\$$
  经过推导可以得到：
  $$x(k+1)=G(T)x(k)+H(T)u(k)\\ y(k)=Cx(k)+Du(k)$$
  其中$H(T)=A^{-1}[G(T)-I]B$
  

  连续状态空间模型中状态矩阵可能是非奇异的也可能是奇异的，但无论该状态矩阵是否奇异，由它推导出的离散化状态空间模型中状态矩阵G(T)总是非奇异的

• 重复迭代可知$x(k)=G^kx(0)+\sum_{i=0}^{k-1}G^{k-i-1}Hu(i)$，其中定义$G^k$为离散状态空间模型的状态转移矩阵$\Psi(k)$

2.5.2 $\Psi$的性质

• $\Psi(0)=I$
• $\Psi(k+1)=G\Psi(k)$
• $\Psi^{-1}(k)=\Psi(-k)$
• $\Psi(k-h)=\Psi(k-h_1)\Psi(h_1-h),k>h_1\ge h$

第三章

3.1 能控性

• 只考虑输入方程
• 定义：状态能控>>所有状态能控>>系统能控
• 判据
  
  1. 能控性判别矩阵
     $[B,AB,...,A^{n-1}B]\beta=x_0$
     
     • 状态能控：存在$\beta$满足上式
     • 系统能控：对于所有$x_0$，以上线性方程组有解，要求系统能控性矩阵满秩
     • 对于MIMO系统，$rank(\Gamma_c[A,B])=rank((\Gamma_c[A,B])*(\Gamma_c[A,B])^T)$
  2. 能控格拉姆矩阵
     
     • $W_c(0,T)=\int_0^Te^{-At}BB^Te^{-A^Tt}dt$非奇异
     • 如系统能控，则对任意初始状态$x_0$，应用控制律$u(t)=-B^Te^{-A^Tt}W_c^{-1}(0,T)x_0$，有$X(T)=0$
• 性质：
  
  1. 等价的状态空间模型具有相同的能控性
  2. 任意单输入系统的能控状态空间模型都能等价变换成能控标准型（利用能控性矩阵求能控标准型的变换矩阵T）
     
     • 步骤：（1）计算A的特征多项式；（2）定义T为当前[A,B]能控检验矩阵，$\tilde{T}$为期望能控标准型能控性检验矩阵；（3）$W=\tilde{T}T^{-1},WAW^{-1}=\tilde{A},WB=\tilde{B}$
  3. 能控的连续系统离散化不一定能保持能控性
• 输出能控性
  
  • $[CB,CAB,CA^2B,...,CA^{n-1}B,D]$行满秩，即秩为输出变量的个数
  • 输出能控性和状态能控性没有必然因果关系

3.2 系统的能观性

• 为什么输出变量一定程度上可以反映内部状态：状态空间模型中的输出方程建立起了系统的状态变量和输出量之间的关系，从而，系统的输出信号中或多或少总包含有系统的状态信息。
• 只考虑零输入系统（能观性问题考虑的是由外部已知信号来估计内部未知状态）

• 定义：若以非零初始状态$x_0$产生的输出相应恒为零，则称状态$x_0$不能观，如果系统中没有不能观的状态（除了零状态），则称系统能观。
• 系统的输出恒为零表明自治系统在非零初始状态$x_0$的激励下仍然是静止的，初始状态对系统输出响应没有任何的影响，即在系统输出中不能反映状态$x_0$的任何信息。根据定义，这样的状态$x_0$是不能观的。
• 判据：
  
  1. 能观性判别矩阵
     
     • 状态能观：$\Gamma_o[A,C]x_0=0$，则状态$x_0$不能观
     • 系统能观：$\Gamma_o[A,C]$列满秩或者说非奇异
  2. 能观格拉姆矩阵
     
     • $W_o(0,T)=\int_0^Te^{A^Tt}C^TCe^{At}dt$非奇异
     • 且有$x_0=\int_0^TW_o^{-1}(0,T)e^{A^Tt}C^Ty(t)dt$

3.3 能控能观性的对偶原理

• $(A,B)$是能控的当且仅当$(A^T,B^T)$是能观的
• 由于$\Gamma_c[A,B]=(\Gamma_o[A^T,B^T])^T$
• 一个矩阵的秩和其转置的矩阵的秩是相同的
• 任一能观状态空间模型可以等价变换到能观标准型，相对的任一能控状态空间模型可以等价变换到能控标准型，但一个系统的不同状态空间描述所带来的能控能观性却不一定一样？（零极相消）

3.4 基于传递函数的能控能观性条件

• 推导没有看
• $C(sI-A)^{-1}B$中的零极相消：可能不能控，可能不能观，可能既不能控也不能观
• $(sI-A)^{-1}B$中的零极相消：不能控
• $C(sI-A)^{-1}$中的零极相消：不能观

第四章

第五章

第六章 状态观测器设计

观测器的输出就是系统状态的估计值。进而，在系统的极点配置状态反馈控制中，用观测器得到的状态估计值来替代系统的真实状态。

6.1 观测器设计

• 关注问题：基于系统模型通过观测系统的输入输出信息u(t)和y(t)来确定系统的状态信息x(t)
  $$lim_{t\to\infty}[\tilde{x}(t)-x(t)]=0$$
  其中$\tilde{x}$为$x(t)$的重构状态或状态估计值，而这个用以实现系统状态重构的系统称为状态观测器。
• 构造方法：
  
  1. 状态估计的开环处理方法（不能付诸使用）
     
     • 系统状态不能直接测量得到，故其初始状态往往未知
     • 测量误差，导致e(0)不为0
     • 实际问题中模型不可能精确，而且往往时变，所得状态估计值往往和实际系统真实状态存在误差
  2. 状态估计的闭环处理方法（龙伯格观测器）
     可行的原因：因为如果系统能观，那么系统的状态信息可以在输出中得到反映
     $$\dot{\tilde{x}}=A\tilde{x}+Bu+L(y-C\tilde{x})=(A-LC)\tilde{x}+Bu+Ly\\ \dot{e}=\dot{x}-\dot{\tilde{x}}=(A-LC)e$$
     
     • 式中L是误差信号的加权矩阵（观测器增益矩阵），$\tilde{x}$是观测器的n维状态，若矩阵（A-LC）的所有特征值均在坐半开复平面，则误差动态系统渐进稳定，从而e(t)随着时间趋向于零，其中A-LC的特征值为观测器的极点，极点与稳态性能，动态性能和抗干扰能力都有关。
     • 求解思路：在系统能观的条件下，对于给定的观测器极点，通过求解$(A^T,C^T)$的极点配置问题得到极点配置状态反馈增益矩阵K，则所求的观测器增益矩阵$L=K^T$
     • 1. 直接法
       2. 变换法
       3. 艾克曼公式法
• 观测器的极点的选取：
  
  • 一般来说应该比系统极点快2~5倍，从而使得状态估计误差的衰减比系统响应快2~5倍。
  • 观测器的响应速度并非越快越好，响应越快，观测器增益矩阵L参数越大，这会收到元器件饱和特性限制，且无法避免实际系统测量输出y中存在的干扰和测量噪声（放大噪声），因此当噪声相当大，可以把观测器极点选择的比系统极点慢2倍，以便使带宽变窄，对噪声进行平滑

6.2 基于观测器的控制器设计

• 分离性原理：状态反馈部分和观测器部分的设计彼此独立，互不影响

第七章