动态Leidenfrost point预测模型

---

传热方程

使用半无限大平板温度分布解析解可求出传热量。假设气膜中为热传导，忽略辐射换热：

$$\begin{equation} q=\frac{T_{i,s} - T_{i,d}} {\sqrt{\pi t}(\frac{1}{e_s}+\frac{1}{e_d}) + \frac{\delta}{k_v}} \end{equation}$$

液滴延展的弹簧阻尼模型

• 液滴半径是等效刚度$k$和等效阻尼系数$\eta$的函数
  $$\begin{equation} R(t) =\sqrt2R_d^{3/2}[\frac{g}{\omega_0^2}exp(-\lambda t)(\cos(\omega_1 t) - \frac{\omega_0}{\omega_1}(2\pi t_t + r_d)\sin(\omega_1 t)) -\frac{g}{\omega_0^2} + D_d]^{-1/2} \end{equation}$$

其中

$$\lambda = \eta/m_d\\ \omega_0 = \sqrt{k/\color{red}{m_1}}\\ \omega_1 = \sqrt{\omega_0^2 - \lambda^2}\\ r_d = \lambda/\omega_0\\ r_t = \frac{V_n\omega_0}{2\pi g}\\ V_n:normal\ velocity\ of\ droplet$$

• 等效刚度$k$
  $$k = \frac{1}{Y_{1,min}}\int_0^{Y_{1,min}}k(Y_1)dY_1\\ $$
  上式在小$We$数情况下可近似为线性，即：
  $$\begin{equation} \frac{k}{k_0} = 0.92We + 1.25 \end{equation}$$
• 等效阻尼系数$\eta$
  $$\eta=JRe^{0.8}\mu D_d$$
  $J$为经验系数，由实验拟合得到。上式使用$D_{max}/D_d=C Re^{0.2}$。若使用$D_{max}/D_d=We^{0.25}$,则上式变为：
  $$\begin{equation} \eta = \frac{3\pi}{8}We\cdot \mu D_d \end{equation}$$

润滑模型

竖直方向速度为$v$，水平方向(半径方向)速度为$u$，则对连续性方程[1]进行积分

$$v|_0^{h(r,t)} = -\int_0^{h(r,t)}\frac1r\frac{\partial {ru}}{\partial r}dy$$

$l.h.s = V_2 - V_1$，其中$V_1=0$，$V_2$是汽膜上边界的速度，等于液滴下表面运动速度与此处相变产生气体速度之和，以竖直向上为坐标轴正方向，则：

$$V2 = \frac{dh}{dt} - \frac{q}{L\rho_v}$$

因此考虑相变的润滑模型为：

$$\frac{dh}{dt} = \frac1{12\mu_v}\frac1r\frac{\partial}{\partial r}(rh^3\frac{\partial p}{\partial r}) + \frac{q}{L\rho_v}$$

当无蒸发时，上式与文献[2]中一致。其中，$p = p_0 - \frac{2\sigma}{R_T} + \rho_l g(z_{top} - h) + \frac12\rho_lV(t)^2 - \sigma\kappa$。若假定$z_{top} = C.$，则上式可化为：

$$\begin{equation} \frac{dh}{dt} = -\frac1{12\mu_v}\frac1r\frac{\partial}{\partial r}(rh^3\frac{\partial (\rho_lgh+\sigma\kappa)}{\partial r}) + \frac{q}{L\rho_v} \end{equation}$$

当液滴静止时，上式与文献[3][4]中一致。

运动方程

$$\begin{equation} \end{equation}$$
似应使用弹簧阻尼模型计算$m_1$的速度$V_1$作为导致动压力的速度。

We数的影响