气泡撞击圆柱解析解

菜鸡的草稿

2019.11.16

• 尝试在极坐标系下讨论平面气泡的撞击，需要知道极坐标系内曲线的曲率公式，即：
  

  $$\kappa(\theta) = \frac{r^2 + 2r_{\theta}^2 - rr_{\theta\theta}}{(r^2+r_{\theta}^2)^{3/2}}$$
  该公式的导出是使用$x = r\cos \theta,y = r\sin \theta$求$x$和$y$的全微分，并带入$\kappa = \frac{y_{xx}}{(1+y_x^2)^{3/2}}$中求出的[1]。

• 三维气泡，似乎仍可在圆柱坐标系中计算。圆柱坐标系中，轴线平行于r轴的圆柱面的方程应为：
  

  $$r^2cos^2 + h^2 = 1$$
  此坐标系下的曲率公式仍然是对$\frac{\partial^2 h}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 h}{\partial y^2} = \nabla^2h$转换坐标系的到，即[2]:
  $$\kappa = \frac1r(\frac{\partial}{\partial r}(r\frac{\partial h}{\partial r}))+ \frac1{r^2}\frac{\partial^2 h }{\partial\theta^2}$$