《麻省理工-线性代数》

数学 公开课

1

对于一个方程式组有两个解法，以A=[1,2;2,3], b=[3,2]为例

• Row方式
  将每行看着一个方程，其解为空间中的低一维平面
  例子：两个方程1*x+2*y=3; 2*x+3*y=2;的交点即为解
• Col方式
  将每列看着一个向量，b即为多个向量的组合，其解为组合系数
  例子：$x[1,2]^T+y[2,3]^T=[3,2]^T$
  可通过空间的向量伸缩和向量加法进行理解

Ax = b 是否有解？

• 等价于：列的组合是否覆盖整个空间
• 不可解：某些列是其他列的组合，奇异，不可逆

计算 Ax

• Row方式： $b_i = \sum_j a_{ij}x_j$
• Col方式： $b=\sum_j x_j a_{\cdot j}$，表示为列的线性组合

2

消元法解方程

• 消元
• 回代

行变换

置换矩阵

• 交换行
  [0,1;1;0]*A
• 交换列
  A*[0,1;1,0]

矩阵消元法

• E21
• E32
• E32*E21

3 乘法和逆矩阵

矩阵乘法

• 元素视角 $$C_{ij}=\sum_{k=1}^KA_{ik}B_{kj}$$
• 列视角 $$C_{\cdot j}=A*B_{\cdot j}=\sum_{i=1}A_{\cdot i}*B_{ij}$$ C中每列是A的各列的线性组合
• 行视角 $$C_{i\cdot}=A_{i\cdot}*B=\sum_{j=1}A_{i j}*B_{i\cdot}$$ C中每行是B中各行的线性组合
• 单列×单行->矩阵 $$C=\sum A_{\cdot k}B_{k \cdot}$$
• 块乘法　blocks

逆矩阵

• 可逆的，非奇异的 $$A^{-1}*A=I=AA^{-1}$$
• 不可逆，可以找到向量x!=[0,...]使得Ax=[0,..]
• 求解，相当于求解　$AB_{\cdot j}=[0,...c_j=1, 0...]$
• 高斯－洛尔消元　$[A, I]=[I, A^{-1}]$
  证明：由于是行变换，相当于左边乘矩阵 $$E[A, I]=[EA, EI];EA=I\rightarrow EI=E=A^{-1}$$

4 A的LU分解