《麻省理工－单变量微积分》

数学 公开课

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1 导数和变化率

几何解释：求解点的切线；可理解为过$x_0和x_p的割线在x_p靠近x_0的斜率$
平均变化率$\Delta y\over \Delta x$
瞬间变化率$dy\over dx$

2 极限和连续

• 简单极限
  $\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)$
• 左极限和右极限
  求f在$x_0$的极限不要求知道f在$x_0$的值，左极限可以不等于右极限，也不等于$f(x_0)$
• 导数
  $\lim_{\Delta x\rightarrow 0}{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)\over \Delta x}$
• 连续
  $f在x_0连续有\lim_{x\rightarrow x_0}=f(x_0)$，含义：
  
  1. 左极限右极限存在且相等
  2. $f(x_0)$有定义值，值与上面相等
• 非连续
  
  • 左极限、右极限存在，不相等
  • 左右极限存在且相等，但不等于$f(x_0)，或f(x_0)$未定义
• 可导必连续：$如果在x_0可导，则其在x_0必连续$
  证明: $\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)-f(x_0)={f(x)-f(x_0)\over x-x_0}x-x_0=f'(x_0)*(x-x_0)=0$
  注意: $\lim_{x\rightarrow x_0}x-x_0 \ne 0$
• 导数
  $${d\over dx}(x^n)=n(x^{n-1})$$

3 求导四则运算与三角函数

• 基础
  
  • $\lim_{x->0}{\cos x-1\over x}=0$
  • $\lim_{x->0}{\sin x\over x}=1$
  • 证明: x为单位圆上的角$\theta$，$sin\theta$为垂线，上下$\theta$，则在趋近于0时，有直线趋近于圆弧，$1-\cos\theta$为0角度半径位于垂线和圆弧之间的距离，其越来越趋近于0
• 特殊函数
  
  • 计算公式　$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)\over \Delta x}$
  • $(\sin x)'=\cos x$
    几何证明: 单位圆，P围绕圆转动,$\theta$为角度，$sin\theta$为其高度，
  • $(\cos x)'=-\sin x$
• 通用函数
  　- 加法法则 $(u+v)'=u'+v'$
  　- 系数　$(cu)'=cu'$
  　- 乘法 $(uv)'=u'v+uv'$
  　- 除法　　${u\over v}'={u'v-uv'\over v^2}, v\ne 0$
  

8 线性和二阶近似

$$f(x)\simeq f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$$ $$f(x)\simeq f(0)+f'(0)x$$
由该公式有，在$x\rightarrow 0$时有：
$$\sin x\simeq x$$ $$\cos x\simeq 1$$ $$e^{x}\simeq 1+x$$
可用于函数近似求解，如$e^{-3x}\over \sqrt {1+x}$

$$f(x)\simeq f(0)+f'(0)x+{f''(0)\over 2}x^2$$
二阶几何意义：在一阶导数为0的情况下，更接近原曲线，是原曲线的最佳模拟

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