滞后系统自抗扰控制

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1、提供方案

步骤一：采用Smith预估器对原系统滞后环节进行削弱

$$G(s)=G_0(s)e^{-\tau s}\qquad(1)\\ G'(s)=G_0(s)e^{\frac{-\tau}{L_m+1} s}\qquad(2)$$
式(1)位原系统，式(2)为削弱后的系统。
步骤二：降阶处理
$\qquad$削弱后的系统为三阶惯性环节，惯性时间常数分别为$\{20/{L_m+1},30,1000\}$。这里考虑降阶为一阶或者二阶惯性系统（阶次取决于性能要求）。
$$G(s)=\frac{1}{1000s+1}\qquad(3)\\ G(s)=\frac{1}{30s+1}\quad\cdot\quad\frac{1}{1000s+1}\qquad(4)$$
式(3)为降阶次（一阶惯性系统），式(4)为降阶次（二阶惯性系统）。
步骤三：设计控制器ADRC
(a)针对一阶惯性系统扩张状态观测器建立为：
无模型
$$\begin{cases} e_s(k)=z_1(k)-y(k)\\ z_1(k+1)=z_1(k)+h(-\beta_1e_s(k)+z_2(k)+b_0u(k))\\ z_2(k+1)=z_2(k)-\beta_2e_s(k) \end{cases}\qquad(5)\\ u(k)=\frac{u_0(k)-z_2(k)}{b_0},\qquad u_0=k_p(x_d-x)+k_d(0-x)$$
模型补偿
$$\begin{cases} e_s(k)=z_1(k)-y(k)\\ z_1(k+1)=z_1(k)+h(-\beta_1e_s(k)+z_2(k)+f_0(k)+b_0u(k))\\ z_2(k+1)=z_2(k)-\beta_2e_s(k) \end{cases}\qquad(6)\\ u(k)=\frac{u_0(k)-z_2(k)-f_0(k)}{b_0},\qquad u_0=k_p(x_d-x)+k_d(0-x)$$

(b)针对二阶惯性系统扩张状态观测器建立为：
无模型

$$\begin{cases} e_s(k)=z_1(k)-y(k)\\ z_1(k=1)=z_1(k)+h(-\beta_1e_s(k)+z_2(k))\\ z_2(k+1)=z_2(k)+h(-\beta_2e_s(k)+z_3(k)+b_0u(k))\\ z_3(k+1)=z_3(k)+h(-\beta_3e_s(k)) \end{cases}\qquad(7)\\ u(k)=\frac{u_0(k)-z_3(k)}{b_0},\qquad u_0=k_p(x_d-x)+k_d(0-x)$$
模型补偿
$$\begin{cases} e_s(k)=z_1(k)-y(k)\\ z_1(k=1)=z_1(k)+h(-\beta_1e_s(k)+z_2(k))\\ z_2(k+1)=z_2(k)+h(-\beta_2e_s(k)+z_3(k)+f_0(k)+b_0u(k))\\ z_3(k+1)=z_3(k)+h(-\beta_3e_s(k)) \end{cases}\qquad(8)\\ u(k)=\frac{u_0(k)-z_3(k)-f_0(k)}{b_0},\qquad u_0=k_p(x_d-x)+k_d(0-x)$$

如上所示，不管系统的阶次最终是二阶还是一阶，我们可以设计无模型补偿和模型补偿两种控制器。这里解释模型补偿，自抗扰控制把系统的模型扰动、外界干扰统称为系统的“总和扰动”，因此这里模型补偿只是把系统的已建模部分考虑到了扩张状态观测器里，从而降低观测器的负担。因此，并不需要很精确的模型，控制器还是时刻估计出系统的未建模扰动和其他干扰，并结合控制律予以补偿。这里解释控制律，自抗扰控制核心实质是认为系统总和扰动的无差估计，在此基础上系统可以简化为串联积分器的形式（动态反馈线性化）。因此这里控制律可以使用最简单的PID控制，当然也可以结合其他现代控制方法。

2方案对比

根据系统阶次，这里做了两组实验：

2.1近似一阶控制

(1)无模型补偿 - 无干扰输入


(2)考虑干扰 - 700s输入20幅值扰动10s

放大后

(3)考虑模型发生变化 —— 滞后时间常数变为50s


相比滞后20s的区别在于上升时间和稳定时间更长，但是系统整体控制影响小。
(4)考虑模型发生变化 —— 某惯性时间常数从30变为50,滞后时间常数变为50s

2.2近似二阶控制

(a)无模型补偿 - 无干扰输入


(b)考虑干扰 - 700s输入20幅值扰动10s


(c)考虑模型发生变化 —— 滞后时间常数变为50s


相比滞后20s的区别在于上升时间和稳定时间更长，但是系统整体控制影响小。但是如果把缩放倍数提高，可以适应滞后时间常数更大范围的变化。
(d)考虑模型发生变化 —— 某惯性时间常数从30变为50,滞后时间常数变为50s

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