伺服电机及其驱动技术Q&A

实用运动控制技术

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1、转动惯量的概念

在维基百科里的解释如下：
$\qquad$在经典力学中，转动惯量又称$\color \red{惯性矩}$（英语：Moment of inertia），通常以 $I$表示，国际单位制为[kg]·[m2]。转动惯量是一个物体对于其旋转运动的惯性大小的量度。一个刚体对于某转轴的转动惯量决定了对于这物体绕着这转轴进行某种角加速度运动所需要施加的力矩。转动惯量在转动动力学中的角色相当于线性动力学中的质量，描述角动量、角速度、力矩和角加速度等数个量之间的关系。
$\qquad$对于一个$\color \red{质点}$， $I=mr^2$，其中$m$其质量，$r$是质点和转轴的垂直距离。
$\qquad$对于$\color \red{刚体}$，可以用无限个质点的转动惯量和，即用积分计算其转动惯量，$I = \int {\rho r^2}dV$，其中 $\rho$ 是密度， $dV$是体积元。
Example:
$\qquad$如果一个质量为$m$的物件，以某条经过质心$A$点的直线为轴，其转动惯量为$I_A$。在空间取点$B$，使得$AB$垂直于原本的轴。那么如果以经过$B$、平行于原本的轴的直线为轴，$AB$的距离为$d$，则$I_B = I_A + md^2$。

力矩:
$\qquad$引入力矩的概念方便后面的理解，我们都知道在直线运动中，让物体平动的叫做力，并且根据牛二定律可知:$\bbox[3px,yellow]{F=ma}$
$\qquad$在旋转运动，则有:$\bbox[5px,border:2px solid red] {{\tau} = I{\alpha}}$其中${\tau}$是力矩， $\alpha$ 是角加速度。

动能:
$\qquad$一般物件的动能是$K=\frac{1}{2}mv^2$。将速度$v$和质量$m$，用转动力学的定义取代：

$$v = \omega r \\[2ex]m = \frac{I}{r^2}\\[2ex]\\\text{得:}\iff K = \frac{1}{2} \left(\frac{I}{r^2}\right)(\omega r)^2\\[2ex]\\\text{简化得：}\iff K = \frac{1}{2} I \omega^2$$
Example:
$\qquad$如果一个人坐在一张可转动的椅子，双手拿重物，张开双手，转动椅子，然后突然将手缩到胸前，转动的速度将突然增加，因为转动惯量减少了。

1.1 惯性张量：

$\qquad$引入惯性张量方便后面讨论平行轴定理。
$\qquad$对于三维空间中任意一参考点Q与以此参考点为原点的直角坐标系$Qxyz$，一个刚体的惯性张量$\mathbf{I}\!$:

$${\displaystyle \mathbf {I} ={\begin{bmatrix}I_{xx}&I_{xy}&I_{xz}\\I_{yx}&I_{yy}&I_{yz}\\I_{zx}&I_{zy}&I_{zz}\end{bmatrix}}\,\!}$$
$\qquad$这里，矩阵的对角元素 $I_{xx}\,\!$、$I_{yy}\,\!$、$I_{zz}\,\!$分别为对于x-轴、y-轴、z-轴的转动惯量。设定$(x,\ y,\ z)\,\!$为微小质量 $dm\,\!$对于点Q的相对位置。则这些转动惯量以方程定义为:
$$I_{xx}\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \int\ y^2+z^2\ dm\,\!，\\I_{yy}\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \int\ x^2+z^2\ dm\,\!，\\I_{zz}\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \int\ x^2+y^2\ dm\,\!，$$
$\qquad$矩阵的非对角元素，称为惯量积，以方程定义为:
$$I_{xy}=I_{yx}\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ - \int\ xy\ dm\,\!，\\I_{xz}=I_{zx}\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ - \int\ xz\ dm\,\!，\\I_{yz}=I_{zy}\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ - \int\ yz\ dm\,\!，$$

1.2 平行轴定理：

$\qquad$平行轴定理能够很简易的，从对于一个以质心为原点的坐标系统的惯性张量，转换至另外一个平行的坐标系统。
$\qquad$假若已知刚体对于质心G的惯性张量$\mathbf{I}_G\,\!$，而质心G的位置是 $(\bar{x},\ \bar{y},\ \bar{z})\,\!$，则刚体对于原点O的惯性张量 $\mathbf{I}\,\!$，依照平行轴定理，可以表述为:

$$I_{xx}=I_{G,xx}+m(\bar{y}^2+\bar{z}^2)\,\!，\\I_{yy}=I_{G,yy}+m(\bar{x}^2+\bar{z}^2)\,\!，\\I_{zz}=I_{G,zz}+m(\bar{x}^2+\bar{y}^2)\,\!，$$
$$I_{xy}=I_{yx}=I_{G,xy} - m\bar{x}\bar{y}\,\!，\\ I_{xz}=I_{zx}=I_{G,xz} - m\bar{x}\bar{z}\,\!，\\ I_{yz}=I_{zy}=I_{G,yz} - m\bar{y}\bar{z}\,\!，$$

给出证明：
$\qquad$参考上图，让$(x\,',\ y\,',\ z\,')\,\!$、 $(x,\ y,\ z)\,\!$分别为微小质量 $dm\,\!$对质心$G$与原点$O$的相对位置：
$$x=x\,'+\bar{x}\,\!， y=y\,'+\bar{y}\,\!， z=z\,'+\bar{z}\,\!$$
根据惯性张量公式得：
$$I_{G,xx}=\int\ y\,'\,^2+z\,'\,^2\ dm\,\!\\ I_{xx}=\int\ y^2+z^2\ dm\,\!$$
$$\bbox[10px,border:3px solid red] { I_{xx}=\int\ (y\,'+\bar{y})^2+(z\,'+\bar{z})^2\ dm =I_{G,xx}+m(\bar{y}^2+\bar{z}^2) }$$
相似地，可以求得 $I_{yy}\,\!、 I_{zz}\,\!$的方程。
$$I_{G,xy}= - \int\ x\,'y\,'\ dm\,\!\\I_{xy}= - \int\ xy\ dm\,\!$$
$$\bbox[10px,border:3px solid red] { I_{xy}= - \int\ (x\,'+\bar{x})(y\,'+\bar{y})\ dm =I_{G,xy} - m\bar{x}\bar{y} }$$
相似地，可以求得对于点$O$的其他惯量积方程。

对于任意轴的转动惯量：

$\qquad$参考上述视图，设定点$O$为直角坐标系的原点，点$Q$为三维空间里任意一点，$Q$不等于O。思考一个刚体，对于$OQ$-轴的转动惯量是:

$$I_{OQ}\ =\int\ \rho^2 \ dm\ =\ \int \ \left| \boldsymbol{\eta}\times\mathbf{r}\right|^2 \ dm\,\!$$
$\qquad$这里，$\rho \,\!$是微小质量 $dm\,\!$离OQ-轴的垂直距离， $\boldsymbol{\eta}\,\!$是沿着OQ-轴的单位矢量， $\mathbf{r}=(x,\ y,\ z)\,\!$是微小质量 $dm\,\!$的位置。
展开叉积:
$$I_{OQ}=\int\ (\eta_yz - \eta_zy)^2+(\eta_xz - \eta_zx)^2+(\eta_xy - \eta_yx)^2\ dm\,\!$$
稍加编排:
$$I_{OQ}= \eta_x^2\int\ y^2+z^2\ dm+\eta_y^2\int\ x^2+z^2\ dm+\eta_z^2\int\ x^2+y^2\ dm \\ - 2\eta_x\eta_y\int\ xy\ dm - 2\eta_x\eta_z\int\ xz\ dm - 2\eta_y\eta_z\int\ yz\ dm$$
特别注意，从方程中某些积分项目，分别是刚体对于x-轴、y-轴、z-轴的转动惯量与惯量积。因此：
$$\bbox[10px,border:3px solid red]{ I_{OQ}=\eta_x^2I_{xx}+\eta_y^2I_{yy}+\eta_z^2I_{zz}+2\eta_x\eta_yI_{xy}+2\eta_x\eta_zI_{xz}+2\eta_y\eta_zI_{yz}\,\!}$$
$\qquad$如果已经知道，刚体对于直角坐标系的三个坐标轴，x-轴、y-轴、z-轴的转动惯量。那么，对于OQ-轴的转动惯量，可以用此方程求得。

1.3 主转动惯量

$\qquad$分析：因为惯性张量 $\mathbf{I}\,\!$是个实值的三维对称矩阵，我们可以用对角线化，将惯量积变为零，使惯性张量成为一个对角矩阵。所得到的三个特征值必是正实值；三个特征矢量必定互相正交。
$\qquad$根据特征方程：

$$\mathbf{I}\ \boldsymbol{\omega}=\lambda\;\boldsymbol{\omega}\,\!$$
也就是以下行列式等于零的的三次方程：
$$\mathbf{I} = \begin{vmatrix} I_{xx} - \lambda & I_{xy} & I_{xz} \\ I_{yx} & I_{yy} - \lambda & I_{yz} \\ I_{zx} & I_{zy} & I_{zz} - \lambda \end{vmatrix}\,\!$$
这方程的三个根$\lambda_1\,\!$、 $\lambda_2\,\!$、 $\lambda_3\,\!$都是正实的特征值。将特征值代入上述方程，再加上方向余弦方程：
$$\omega_x^2+\omega_y^2+\omega_z^2=1\,\!$$
$\qquad$我们可以求到特征矢量 $\hat{\boldsymbol{\omega}}_1\,\!$、 $\hat{\boldsymbol{\omega}}_2\,\!$、 $\hat{\boldsymbol{\omega}}_3\,\!$。这些特征矢量都是刚体的$\color\red{惯量主轴}$；而这些特征值则分别是刚体对于惯量主轴的$\color\red{主转动惯量}$。
$\qquad$假设x-轴、y-轴、z-轴分别为一个刚体的惯量主轴，这刚体的主转动惯量分别为 $I_{x}\,\!$、 $I_{y}\,\!$、 $I_{z}\,\!$，角速度是 $\boldsymbol{\omega}\,\!$。那么，角动量为:
$$\bbox[10px,border:3px solid red]{\mathbf{L}=(I_x\omega_x\;,\;I_y\omega_y\;,\;I_z\omega_z)\,\!}$$

1.4 刚体动能

$\qquad$进一步我们可以分析刚体的动能：刚体的动能 $K\,\!$可以定义为

$$K=\frac{1}{2}m\bar{v}^2+\frac{1}{2}\int\ v^2\ dm\,\!$$
$\qquad$这里， $\bar{v}\,\!$是刚体质心的速度， $v\,\!$是微小质量 $dm\,\!$相对于质心的速度。在方程里，等号右边第一个项目是刚体平移运动的动能，第二个项目是刚体旋转运动的动能 $K\,\!'\,\!$。由于这旋转运动是绕着质心转动的:
$$K\,\!'=\frac{1}{2}\int\ (\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r})\cdot(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r})\ dm\,\!$$
$\qquad$这里， $\boldsymbol{\omega}\,\!$是微小质量 $dm\,\!$绕着质心的角速度， $\mathbf{r}\,\!$是 $dm\,\!$对于质心的相对位置。
应用$\color\red{矢量恒等式}$，可以得到:
$$K\,\!'=\frac{1}{2}\boldsymbol{\omega}\cdot \int\ \mathbf{r}\times(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r})\ dm =\frac{1}{2} \boldsymbol{\omega}\cdot\mathbf{L}\,\!\\ 或是：K\,\!'=\frac{1}{2}\boldsymbol{\omega}^T\ \mathbf{I}\ \boldsymbol{\omega}\,\!$$
所以，刚体的动能为:
$$\bbox[10px,border:3px solid red]{K=\frac{1}{2}m\bar{v}^2+\frac{1}{2}(I_{xx}{\omega_x}^2+I_{yy}{\omega_y}^2+I_{zz}{\omega_z}^2+2I_{xy}\omega_x\omega_y+2I_{xz}\omega_x\omega_z+ 2I_{yz}\omega_y\omega_z)\,\!}$$
假设x-轴、y-轴、z-轴分别为一个刚体的惯量主轴，这刚体的主转动惯量分别为 $I_{x}\,\!$、 $I_{y}\,\!$、 $I_{z}\,\!$，角速度是 $\boldsymbol{\omega}\,\!$。那么，刚体的动能为: $$K=\frac{1}{2}m\bar{v}^2+\frac{1}{2}(I_{x}{\omega_x}^2+I_{y}{\omega_y}^2+I_{z}{\omega_z}^2)\,\!$$

1.5 计算范例

利用线密度

$$\lambda=\frac{m}{\ell}$$
可轻易计算出细长棒子沿质心（CM）自转的转动惯量。
$$\bbox[10px,border:3px solid red]{I_{CM} = \int r^2 dm = \lambda \int_{-\ell/2}^{\ell/2} x^2 dx = \frac{m}{\ell}\ (\frac{1}{3} x^3)\bigg|_{-\ell/2}^{\ell/2} = \frac{1}{12}\, m\ell^2}$$

当自转轴移到末端，转动惯量变成：

$$\bbox[10px,border:3px solid red]{I_{end} = \int r^2 dm = \lambda \int_{0}^{\ell} x^2 dx = \frac{m}{\ell}\ (\frac{1}{3} x^3)\bigg|_{0}^{\ell} = \frac{1}{3}\, m\ell^2}\\ I_{end} = I_{CM} + M D^2 = \frac{1}{12}\, m\ell^2 + m(\frac{\ell}{2})^2 = \frac{1}{3}\, m\ell^2$$

2 矢量控制的概念

2.1 闭环矢量控制和开环矢量控制的比较

$\qquad$矢量控制最早是西门子公司的专利，上世纪70年代，由西门子工程师F.Blaschke首先提出异步电机矢量控制理论来解决交流电机转矩控制问题。如今西门子的MM440变频器在工业上使用也是很普遍。 MM440的矢量控制分为有速度传感器矢量控制（VC）和无速度传感器矢量控制SLVC，前者精度高，后者精度低。

$\qquad$矢量控制的 无速度传感器 SLVC运行方式，首先必须解决 电机转速和转子磁链位置角的在线辨识问题 。解决这个问题常用的方法有基于 检测定子电流信号 的辨识方法，有同时使用电流检测信号和电压检测信号的辨识方法，还有根据电流检测信号和逆变器的开关控制信号重构电压信号的方法。

$\qquad$SLVC 我们也把它称为开环矢量控制，但它其实不是真正意义上的开环，因为这种控制方式下，其转速外环还是存在的，只不过这个时候，转速反馈值不是电机的真正转速反馈值，而是变频器根据电机模型算出来的转速值作为反馈信号。电机不带转速反馈装置，变频器依靠自身内部软件中的转速观测器，来计算出电机转速。从而达到对电机转速的控制。它本质上是一种“不带转速反馈的闭环控制”，

$\qquad$如果调速系统对电机转速的控制精度要求非常高，且需要进行位置或者转矩控制，并对转矩的稳定性、精度也有要求，那就需要进行闭环矢量控制，这时你的电机一定要配编码器，而带编码器的矢量控制即VC控制方式下，转速反馈值是编码器测出的实际转速值，是真正的电机转速，不是变频器自己算出来的。

$\qquad$开环矢量控制最终和闭环一样，也是改变变频器的脉冲电压波形，只是因为没有编码器的速度反馈，是通过电流环的电流传感器反馈一个电流信号到微处理器，来参与矢量运算，从而实现电机的矢量控制。

$\qquad$要说调速系统的开环控制的话，其实V/F（变频变压）控制是才可以说是真正的开环控制，这时变频器对电机转速完全不能控制，它只输出一个固定频率、固定幅值的电压，而不管电机此时转速为多少。

$\qquad$转速闭环调速系统中控制器默认的是PID控制，不过一般都把微分控制功能关闭，采用比例积分PI调节器控制。（如西门子MM440变频器。 ）而且PID控制器是变频器内置的，速度环PID控制器是不需要我们用户外配的。

2.2 矢量控制（Siemens）与直接转矩控制（ABB）的比较

$\qquad$矢量控制和直接转矩控制都可以实现高动态性能变频调速系统的设计。二者有各自不同的优缺点，以及各自不同的最佳应用领域。但有人说，
$\qquad$：“直接转矩控制技术是一种比矢量控制技术更先进、性能更优越的新一代交流调速控制方法。”
$\qquad$这样的表述是不正确的，我们不能因为直接转矩控制比矢量控制晚了十几年提出，就武断的说后者比前者优秀。虽然我们可以说VVVF变频调速是第一代交流调速控制技术，但不能简单的说矢量控制和直接转矩控制是第二代和第三代交流调速技术。

$\qquad$二者的基本控制结构是相同的，理论基础是相通的。从控制量来看，它们都需要磁通和转矩的估计，但用途显然是不一样的，磁通的误差在矢量控制中被用作PI调节器的输入，输出是电流的给定量；而直接转矩控制中把误差直接拿来驱动变频器，不需要电流控制环和旋转坐标变换。不同之处在于二者的控制方案的区别，导致了控制性能的差别。

$\qquad$矢量控制是转子磁链定向，将电机定子电流分解成转矩电流分量和励磁电流分量以实现解耦。可以按照线性系统的控制理论方法来设计转速和磁链的PI控制器，从而可以实现连续控制，如下图。

$\qquad$首先，转子的速度以及相对于定子磁场的角位置等信息通过脉冲编码器被反馈回来。电机的相关电气特性被数学模型化，加之使用高性能微处理器比如DSP来处理采集到的数据。并通过调制器将电压、电流和频率等控制变量给定到交流异步电机，这样一来，电机的转矩被间接控制，可以达到零速满转矩，控制性能十分接近于直流传动。

$\qquad$这里我们为了达到快速的转矩响应和较高的速度精度，反馈装置是必需的。这使得成本上升并且增加了传统交流电机的复杂性。同样，调制器的使用降低了输入的电压和频率信号与电机的实际要求之间的通讯速度。虽然电机的机械结构简单，但是传动装置的电气结构比较复杂。

$\qquad$此外，转子的磁链定向容易受到电机转子参数（转子电阻和电感）变化的影响，电机动态运转时，转子参数变化不易测，降低了控制系统的鲁棒性。
$\qquad$鲁棒性（robustness）就是系统的健壮性。它是在异常和危险情况下系统生存的关键。

$\qquad$而直接转矩控制则是定子磁链定向，在定子坐标系下分析电机的数学模型，计算控制电机的磁链和转矩，不用复杂的坐标变换。按照非线性的控制理论方法来设计离散的两点式BANG-BANG控制器。

$\qquad$控制变量为电机磁通和电机转矩，不需要调制器也不需要转速计或编码器等设备来反馈电机
转速或电机轴的位置。
$\qquad$使用DTC控制，在40HZ以下典型的转矩响应时间在1到2ms，而带编码器的矢量控制和直流传动响应时间在10-20ms之间。开环的PWM传动响应时间超过100ms。
$\qquad$虽然动态响应比PI控制块，但是转矩脉动也随即而来。此外，带积分环节的磁链电压模型在低速时的适用性值得商榷，导致直接转矩控制在低速时控制性能不佳。此外，电动机运行一段时间之后，电机的温度升高，定子电阻的阻值发生变化，使定子磁链的估计精度降低，导致电磁转矩出现较大的脉动。如果多个电机并联到直接转矩控制的逆变器上，这些电机是被作为一个大的电机来控制的。此时没有任何关于单独一个电机的信息。如果电机数量会发生变化，或者电机功率小于逆变器额定功率的1/8，推荐使用标量控制。（ABB手册）

二者应用领域：矢量控制用于宽范围调速系统和伺服系统，而直接转矩控制则适用于需要更快速转矩相应的大惯量控制系统。

$\qquad$在如今的技术水平之下，从控制系统的动态性能和稳态性能考虑，无论采用这二者中的哪一个控制，均可满足一般的生产要求。不论是ABB的ACS800，还是西门子的6SE70，需要根据实际的要求来选择合适的变频器。