一、概述

标题

自抗扰技术（ADRC）

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$\qquad$控制理论发展至今，始终是围绕着“消除控制误差”的两种不同方法：

1. “基于误差来消除误差”的控制思想，最典型的就是以PID调节器为代表的实用工业控制器
2. “基于内部机理描述”的控制思想，以对象数学模型为研究的出发点

$\qquad$在实现消除误差来控制目标的过程中，最重要的任务就是使得施加的控制力能够抵消各种不确定扰作用的影响，在控制理论发展史上曾有两个原理：

1. “绝对不变性原理”，想要克服外扰影响，就要测量外扰。控制器必须同时包含有反馈稳定的通道和抑制外扰的通道（双通道原理）
2. “内模原理”，想要克服外扰影响，就要知道外扰模型。控制器必须含有这个外扰模型。

$\qquad$自抗扰控制器最突出的特征就是把作用于被控对象的所有不确定因素作用都归结为“未知扰动”，并用对象的输入输出数据对它进行估计，给予补偿。

• 不需要直接测量外扰作用
• 不需要知道外扰规律

并且凡是能用常规PID的场合，只要能数字化，采用自抗扰控制器就会使其控制品质和控制精度有根本上的提高，更是在恶劣的环境中实现高速高精度控制的场合，自抗扰技术能显出其优越性。

$\qquad$自抗扰控制技术所需信息：

1. 被控对象的阶次
2. 力的作用范围
3. 输入输出通道个数和联结方式
4. 信号的延迟时间
5. 代表系统变换快慢的“时间尺度”等容易得到且物理概念清晰的特征量

大量的数字仿真研究和现场应用实践表明，由于自抗扰控制器完全独立于被控对象的具体数学模型，对被控对象进行大致描述的近似模型再加上一些极端形式扰动的模型来代表被控对象，进行计算机数字仿真实验所得的结果，可以完全直接应用于实际对象上。
目前，自抗扰控制技术已在我国电力系统、精密机械加工车床、化工过程、现代武器系统等领域得到推广应用，取得了显著的社会效益和经济效益。

一、经典PID

$\qquad$书中先分析经典PID调节原理和给定的PID调节器能控制的对象范围，讨论根据设定值先安排过渡过程的优点，与线性控制系统的传递函数标准化相关的系统时间尺度等问题。

1.1 、经典PID调节器及其优缺点

PID的优缺点：

1. PID的稳定余度不小，但具有好的动态品质余度不大。闭环动态品质对PID增益的变化太敏感。在经常变化的环境之中，PID控制器参数也需要时常调整。
2. “基于误差反馈来消除误差”是PID的精髓，但是这并不完全合理。直接选取误差会使得系统初始控制力太大，系统行为出现超调，也是导致用PID控制的闭环系统中产生“快速性”和“超调”之间矛盾的主要原因。
3. 在实际中没有比较合适的微分器，常常只用PI控制率，限制了PID的控制能力。
4. 经典PID采用线性加权和的形式并不是最好的形式，非线性领域有很多效率较高、更好的组合方式。
5. PID的误差积分反馈对抑制常值扰动确实有效果，但是无扰动作用时，误差积分的反馈常使闭环的动态特性变差；而对随时变化的扰动来说，积分反馈的抑制能力又不显著，因此采用误差积分反馈的必要性是值得商榷的。

1.2、过渡过程的重要性

$\qquad$在过去，由于没有获取微分信号的合适办法，绝大部分PID调节，实际上只是PI调节，不能用D的增益$k_2$来改变对象阻尼部分参数$a_2$，只能用P的增益$k_1$来改变对象参数$a_1$。因此，P的增益受限于系统参数$a_1、a_2$，如果想要加快过渡过程就需要加大P增益$k_1$导致闭环成缺阻尼过程而产生超调，快速性和超调之间矛盾不明而立。

$\qquad$考虑系统都具有惯性，系统的输出也会是从零开始，直接取此时刻的误差信号会对系统造成较大的初始冲击，若考虑降低起始误差，安排过渡过程能过较好缓解这个问题：

$$trns(T_0,t)= \begin{cases} \frac{1}{2}(1+sin(\pi(\frac{t}{T_0}-\frac{1}{2}))),\qquad t\le T_0\\ 1,\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad t>T_0 \end{cases}$$

实验证明三点：

1. 事先安排过渡过程是解决超调与快速性矛盾的一种很有效的办法
2. 事先安排过渡过程使误差反馈增益和误差微分反馈增益的选取范围大为扩大，从而使其整定更为容易
3. 事先安排过渡过程使给定的反馈增益所能适应的对象参数范围大为扩大，即控制器的鲁棒性更为加强

1.3、时间尺度

对于一般放大系数为1的传递函数：

$$w(s)=\frac{a_0'}{s^n+a_{n-1}'s^{n-1}+\cdots+a_1's+a_0'}\\ r=\sqrt[n]{a_0'}\\ a_{n-i}=\frac{a_{n-i}'}{r^i},i=1,\cdots,n-1$$
并做时间尺度变换：
$$t=\frac{1}{r}\tau$$
那么在新的时间尺度下传递函数变成：
$$w(s)=\frac{1}{s^n+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots+a_1s+1}$$
在经典调节理论中，把传递函数分母多项式的最高次项系数和常数项系数都化为1的过程为标准化过程。显然得到的传递函数为标准传递函数，r为代表系统响应快慢程度的一个指标。
对于线性控制系统：
$$w(s)=\frac{b}{s^n+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots+a_1s+a_0}$$ 及其能控标准形实现：
$$\begin{cases} \dot x_1=x_2\\ \vdots\\ \dot x_{n-1}=x_n\\ \dot x_n=-a_0x_1-a_1x_2-\cdots -a_{n-1}x_n+bu\\ y=x_1 \end{cases}$$
定义：
$$\rho=\frac{1}{r}=\frac{1}{\sqrt[n]{a_0}}$$
是衡量该系统响应快慢的“时间尺度”。

1.4、总结

$\qquad$如果我们能知道一个标准系统（$a_1=1$的系统）已整定PID增益$k_0^*,k_1^*,k_2^*$，那么控制参数$a_1$确知的另一个对象所需要的P,I增益$k_0,k_1$可以由公式：$k_0=\frac{k_0^**}{\rho^3},k_1=\frac{k_1^**}{\rho^2}$确定，而D的增益$k_2$则根据$k_2=\frac{k_2^*}{\rho}+\frac{2\xi-\rho a_2}{\rho}$来调整。
$\qquad$然而这种做法只能用于参数$a_1$已知的情形。如果对参数$a_1$估计有误差，那么按上述方式确定的PID增益，会使闭环的过渡过程变形，这种方法对参数$a_1$的估计误差很敏感。
$\qquad$如果我们在安排过渡过程的基础上运用这种时间尺度变换的方法，那么对对象参数的认知程度就大为宽松了。

实验证明三点：

1. 由于“误差”本身很小，PID的增益都可以取比较大的值
2. 对给定的对象来说，保证过渡过程品质的PID增益的允许范围很大
3. 对给定的PID增益来说，它所能控制的对象范围很大

$\qquad$如果没有安排过渡过程，做时间尺度变换时，需要适当调整微分增益$k_2$来匹配阻尼项系数。然而，事先安排了适当的过渡过程，就可以把标准系统的增益$k_i^*$按时间尺度转换过来就可以用了，不必再去调整微分增益了。事先安排过渡过程，对对象时间尺度的估计并不需要那么精确，只做数量级的估计就可以了。

二、跟踪微分器

$\qquad$书中讨论从被噪声污染的信号中合理提取微分信号的问题。先分析经典微分器的数学含义及其噪声放大的根本原因，然后提出能克服噪声放大效应的二阶及高阶微分环节。实际上，微分信号是尽快地跟踪给定信号的方式提炼的，因此书中提出最快的跟踪给定信号的办法来提取微分信号的非线性最速跟踪微分器和相应的一般理论。为了避免数字计算中高频颤振的出现，给出了最速跟踪微分器的离散型式和它的频率特性，然后介绍跟踪微分器在各种不同问题上的应用。

2.1经典微分器

一阶惯性环节：
考虑一阶惯性环节的传递函数：

$$y=w(s)u=\frac{k}{Ts+1}u$$
其状态空间实现：
$$\dot y=-\alpha(y-ku(t))，\alpha=\frac{1}{T}$$
当$k=1$,且时间常数$T$很小，即$\alpha$很大，而输入$u(t)$为缓变得时变函数：
$$y(t)\approx u(t)-T\dot u(t)$$
当时间常数$T$足够小时，就有：
$$y(t)\approx u(t)-T\frac{u(t)-u(t-T)}{T}=u(t-T)$$
即一阶惯性系统输出$y(t)$将以时间常数$T$为延迟时间来跟踪输入信号$u(t)$。
当时间常数$T$较小的时候，可以近似成：
$$\frac{1}{1+Ts}\approx e^{-Ts}\\ \iff y(t)=\frac{1}{Ts+1}u(t)\approx e^{-Ts}u(t)=u(t-T)$$

经典微分器：
在经典调节理论中，对给定信号的微分信号用如下微分环节：

$$y=w(s)v=\frac{s}{Ts+1}v=\frac{1}{T}(1-\frac{1}{Ts+1})v$$
改写：
$$y=w(s)v=\frac{1}{T}(v-\frac{1}{Ts+1}v)\\y=w(s)v=\frac{1}{T}(v-\bar v),\bar v=\frac{1}{Ts+1}\\y(t)=\frac{1}{T}(v(t)-\bar v(t))\approx \frac{1}{T}(v(t)-v(t-T))\approx \dot v(t)$$
当时间常数$T$越小时，输出$y(t)$越接近微分$\dot v$，但是如果输入信号$v(t)$被随机噪声$n(t)$所污染，那么由经典微分器得到的微分信号：
$$y(t)\approx \frac{1}{T}(v(t)+n(t)-v(t-T))=\\ \qquad\frac{1}{T}(v(t)-v(t-T)+n(t))\approx\\ \dot v(t)+\frac{1}{T}n(t)\qquad\qquad$$
从上式中可以看出，如果时间常数$T$越小，那么噪声放大就会越严重，甚至会淹没微分信号$\dot v(t)$

消除或减弱噪声放大效应：
书中提出微分近似公式：

$$\dot v(t)\approx \frac{v(t-\tau_1)-v(t-\tau_2)}{\tau2-\tau1},0<\tau1<\tau2$$
其中延迟信号$v(t-\tau1)$和$v(t-\tau2)$分别将由惯性环节$1/(\tau_1s+1)$和$1/(\tau_2s+1)$来获取，那么可以降低噪声放大效应：
$$y=\frac{1}{\tau_2-\tau_1}(\frac{1}{\tau_1s+1}-\frac{1}{\tau_1s+1})v$$

对比经典微分和微分近似

$$\begin{cases} \bar v(k+1)=\bar v(k)-h\frac{1}{T}(\bar v(k)-v(k))\\ y_1(k)=\frac{1}{T}(v(k)-\bar v(k)) \end{cases}$$

$$\begin{cases} x_1(k+1)=x_1(k)+hx_2(k)\\ x_2(k+1)=x_2(k)-h(\frac{1}{\tau_1\tau_2}(x_1(k)-v(k))+\frac{(\tau_1+\tau_2)}{\tau1\tau2}x_2(k))\\ y_2(k)=x_2(k) \end{cases}$$

代入$v(k)=v_0(t)+\gamma n(t)$就会发现噪声放大主要是由$\gamma\frac{n(t)}{\tau}$,$h\gamma\frac{n(t)}{\tau}$或者$h\gamma\frac{n(t)}{\tau1\tau2}$项决定的。因此小时间常数的噪声方法作用是可以用小积分步长来给予补偿的。

高阶微分功能
如果时间常数$\tau_1$,$\tau_2$很接近常数$\tau$，那么传递函数可以近似成：

$$w(s)=\frac{s}{\tau^2s^2+2\tau s+1}\\ w(s)=\frac{r^2s}{s^2+2rs+r^2}=s\frac{r^2}{(s+r)^2},r=\frac 1\tau$$

经典微分和微分近似以及高阶微分都有一个共同点：都是用惯性环节来尽可能快地（取小的时间常数）跟踪输入信号的动态特性，通过求解微分方程（积分）来获取近似微分信号。---这种动态结构称做跟踪微分器（TD），即一边尽快地跟踪输入信号，同时给出近似的微分信号。

2.2跟踪微分器

非线性最速跟踪微分器：

定理：考虑$n$阶系统

$$\begin{cases} \dot z_1=z_2\\ \quad\vdots\\ \dot z_{n-1}=z_n\\ \dot z_n=f(z_1,z_2,\cdots,z_n) \end{cases}$$
按菲利波夫意义有解，且其所有解都满足：
$$\lim_{t\to \infty}z_i(t)=0,i=1,\cdots,n$$
那么对任意局部可积信号$v(t)，t\in[0,\infty]$，和任意$T>0$，微分方程：
$$\begin{cases} \dot x_1=x_2\\ \quad\vdots\\ \dot x_{n-1}=x_n\\ \dot x_n=r^nf(x_1-v(t),\frac {x_2}r,\cdots,\frac{x_n}{r^{n-1}}) \end{cases}$$
的解的第一个分量$x_1(r,t)$，将满足：
$$\lim_{r\to \infty}\int_0^T|x_1(r,t)-v(t)|dt=0$$

满足上述定理的最速系统

1. $$\begin{cases}\dot x_1=x_2\\ \dot x_2=-rsign(x_1-v_0(t)+\frac{x_2|x_2|}{2r}) \end{cases}$$
2. $$\begin{cases}\dot x_1=x_2\\ \dot x_2=-r^2sign(x_1-v(t))|x_1-v(t)|^\alpha-rx_2 \end{cases}$$

线性跟踪微分器：

$$y=w(s)=\frac {r^4}{(s+r)^4}v$$
$$\begin{cases} f=-r(r(r(r(x_1-v)+4x_2)+6x_3)+4x_4)\\ \dot x_1=x_2\\ \dot x_2=x_3\\ \dot x_3=x_4\\ \dot x_4=f\\ \end{cases}$$
离散化：
$$\begin{cases} f=-r(r(r(r(x_1-v)+4x_2)+6x_3)+4x_4)\\ x_1=x_1+hx_2\\ x_2=x_2+hx_3\\ x_3=x_3+hx_4\\ x_4=x_4+hf\\ \end{cases}$$
参数r适当大的时候就有$x_1(t)\to v(t)$，$x_2(t)\to\frac{dv}{dt}$，$x_3(t)\to\frac{d^2v}{dt^2}$，$f(t)\to\frac{d^3v}{dt^3}$。

2.3快速跟踪微分器的离散形式

$$\begin{cases}\dot x_1=x_2\\ \dot x_2=-rsign(x_1-v_0(t)+\frac{x_2|x_2|}{2r}) \end{cases}$$
该最速跟踪微分器除微分功能外还有很多好的性能，但是在系统进入稳态后会产生不能令人满意的高频颤振，即使把符号函数$sign(x)$改成线性饱和函数$sat(x,d)$(当$\|x\|\le d$取$x/d$)，也不能避免高频颤振。
$\qquad$其主要原因是该系统是连续系统：
$$\begin{cases} \dot x_1=x_2\\ \dot x_2=u,|u|\le r \end{cases}$$
从非零初值到达原点的最速控制综合函数，但是不是离散系统：
$$\begin{cases} x_1(k+1)=x_1(k)+hx_2(k)\\ x_2(k+1)=x_2(k)+hu,|u|\le r \end{cases}$$
的最速控制综合函数。

上述离散系统的最速控制综合函数为：
记

$$fsg(x,d)=(sign(x+d)-sign(x-d))/2$$
那么$u=fhan(x_1,x_2,r,h)$
$$\begin{cases} d=rh^2\\ a_0=hx_2\\ y=x_1+a_0\\ a_1=\sqrt{d(d+8|y|)}\\ a_2=a_0+sign(y)(a_1-d)/2\\ a=(a_0+y)fsg(y,d)+a_2(1-fsg(y,d))\\ fhan=-r(\frac ad)fsg(a,d)-rsign(a)(1-fsg(a,d)) \end{cases}$$
代入：
$$\begin{cases} fh=fhan(x_1(k)-v(k),x_2(k),r,h)\\ x_1(k+1)=x_1(k)+hx_2(k)\\ x_2(k+1)=x_2(k)+hfh \end{cases}$$

实验得到结论：
$\qquad$将函数$fhan(x_1,x_2,r,h)$中的变量$h$改为与步长$h$独立的新变量$h_0$，取$h_0$为适当大于步长$h$的参数，那么就能消除速度曲线中的超调现象，参数$h_0$被称为跟踪微分器的滤波因子。在积分步长确定的时候，扩大滤波因子也是增强滤波效果的有效手段。

2.4跟踪微分器的其它应用

1.安排过渡过程：
$\qquad$TD对常值输入的响应特征：有限时间单调地跟上输入信号，同时也给出此过程的微分信号，即阶跃响应将以有限时间无超调地进入稳态。因此TD可以用来安排过渡过程，而且过渡过程的快慢是可以用参数$r$来进行调整的。
$\qquad$如果用$T_0$表示阶跃响应结束的时间，那么$TD$确定的阶跃响应曲线有如下特征：前半段时间，即时间区间$[0,\frac{T_0}{2}]$上，以$r$为加速度沿抛物线上升到$\frac{1}{2}$，即$\frac{r(T_0/2)^2}{2}=\frac{1}{2}$,而上升速度达到最大值$r(T_0/2)$；后半段时间，即时间区间$[T_0/2,T_0]$上，以$-r$为加速度来减速，但继续上升到设定值——阶跃输入值1上，上升速度变为0，然后$T_0$时刻以后加速度为0，因此上述速度始终为0，过程保持在阶跃输入值1上。此时，过渡过程时间$T_0$与最大加速度$r$之间的关系：

$$\frac{r(T_0/2)^2}{2}=\frac{1}{2}\to rT_0^2=4,r=\frac{4}{T_0^2},T_0=\frac{2}{\sqrt r}$$
而且，当$T_0$或$r$给定时，过渡过程的最大速度为：
$$v_m=r(T_0/2)=\frac{4}{T_0^2}\frac{T_0}2=\frac{2}{T_0};r(T_0/2)=r\frac{2}{\sqrt{r}}/2=\sqrt{r}$$

2.配置系统零点：
$\qquad$在线性系统理论中，只要系统能控，可以用状态反馈对系统任意配置所需极点，以此改善闭环系统的动态性能。但是若能实现配置系统零点的手法，有时更有效地改善闭环系统的动态性能。
$\qquad$由于零点配置需要用到微分信号，而传统微分器对噪声很敏感，很难直接用零点配置。TD对噪声具有很好的滤波作用，它所给出的微分信号同样可以用来实现零点配置。
设放大系数为1的线性被控对象：

$$\begin{cases} \dot x_1=x_2\\ \dot x_2=-a_1x_1-a_2x_2+a_1u\\ y=x_1\\ \end{cases}$$
稳定，即$a_1>0,a_2>0$，其传含：
$$y=\omega_1(s)u=\frac{a_1}{s^2+a_2s+a_1}u$$
若参数$a_1,a_2$已知，且微分器能实现，那么可以构造由纯微分环节所成的传递函数：
$$a_1u=\omega_2(s)v=(s^2+a_2s+a_1)v$$ 或者 $$a_1u=\ddot v+a_2\dot v+a_1v$$
把两个系统串联起来，那么从输入$v$到输出$y$的传递函数关系变成1了。

一般地，对以$u$为输入，$y$为输出的二阶稳定系统：

$$\ddot y-f(y,\dot y)=u$$ 如果函数$f(y,\dot y)$已知，那么可以用微分器构造以$v$输入，$u$输出的新系统：
$$u=\ddot v-f(v,\dot v)$$
在这里，只要保证$y(0)=v(0),\dot y(0)=\dot v(0)$,那么输入$v$和输出$y$完全相同。

3.求函数极值：
$\qquad$求极值点的典型递推算法为：

$$x_{k+1}=x_{k}-\lambda \frac{dy}{dx}|_{x=x_k},\lambda>0$$
因为不知道函数$y=f(x)$的表达式，只能实时获取输入-输出量$x(t),y(t)$无法直接获取导数$\frac{dy}{dx}$的信息，从而不能直接应用迭代公式，但是：
$$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{\dot y}{\dot x}$$
利用TD，求得微分信号：
$$\frac{dy}{dx}=\frac{\dot y}{\dot x}\approx\frac{y_2(k)}{x_2(k)}$$
于是原式：
$$x(k+1)=x(k)-\lambda\frac{y_2(k)}{x_2(k)}$$
4.求函数的根：
切线法求函数的根迭代公式：
$$x(k+1)=x(k)-\lambda y(k)/(\frac{dy}{dx}|_{x=x{k}}),\lambda>0$$
转化后：
$$x(k+1)=x(k)-\lambda y(k)x_2(k)/y_2(k)$$
需要注意的是：两个TD的初始条件应取$x_2(0)\ne 0,y_2(0)\ne 0$。
5.频率估计：
设被噪声污染的正弦信号$x(t)=asin(\omega t)+\gamma n(t)$.
信号所含的频率: $$\omega^2\approx \lim_{t\to \infty}\int_0^t(\dot x(\tau))^2d\tau/\int_0^t(x(\tau))^2d\tau$$
6.相近频率的分离：
设信号$v(t)=a_1sin(\omega_1t)+a_2sin(\omega_2t)$中分离出频率$\omega_2$。
记$v_1(t)=a_1sin(\omega_1t)$,$v_2=a_2sin(\omega_2t)$,$v(t)=v_1(t)+v_2(t)$
事实上 ，已知信号是满足微分方程：
$$\begin{cases} \dot x_{11}=x_{12},x_{11}(0)=0\\ \dot x_{12}=-\omega_1^2x_{11},x_{12}(0)=a_1\omega_1 \end{cases}$$
因此把信号v(t)送入跟踪微分器TD：
$$\begin{cases} fs=fhan(x_{21}-v,x_{22},r,h)\\ \dot x_{21}=x_{22},x_{21}(0)=0\\ \dot x_{22}=fs,x_{22}(0)=0\\ \end{cases}$$
因此$x_{21}(t)\to v(t)$
$$x_{21}(t)-x_{11}(t)\to v(t)-v_1(t)\to v_2(t)$$
7.数字整流：
$\qquad$从交流电获取直流电使用硬件-整流器来实现的，其基本原理是从$50Hz$的交流信号$y=asin(50\times 2\pi t)$取其半边，或取其绝对值（用半导体器件实现的），然后进行滤波得到。
$\qquad$用数字的方法整流的话，只需要把绝对值信号$|y|=a|sin(50\times 2\pi t)|$送入TD，并适当调整TD的速度因子和滤波因子，就能得到很好的直流信号。
$\qquad$需要注意的是，得到的直流信号有小幅的高频振荡，再将该信号通入一个TD跟踪微分器（低通滤波器）可以消除这些高频振荡。
8.数字检波：
$\qquad$无线电信号是把调制信号（有用信号）加载在高频载波上传送的。接收这些信号之后要检波出调制信号才能获得有用信息。
$\qquad$设高频载波为$y_0=sin(\omega t)$，有用信号$y(t)$加载在$y_0(t)$上，那么传送的信号是：
$$u_0(t)=y_0(t)(a+y(t)),a=const>0$$
所谓检波就是从信号$u_0(t)$提取有用信号$y(t)$。
$\qquad$把接收的信号$u_0(t)$取绝对值后送入TD，并适当调整速度因子r和滤波因子$h_0$，就能调制出有用信号$y(t)$。
9.相位超前功能的实现：
微分环节公式：
$$y(t)=\frac{1}{\gamma}(v_1+\lambda h_1v_2),\gamma>1$$
需要注意的是:
$$\gamma\approx\sqrt{(1+\lambda^2h_1^2)}$$
10.剔除野值及预报方法：
$\qquad$实际测得的信号常常含有偏离真值很远的野值，TD跟踪微分器自带滤波能够很好解决野值剔除问题。在进行滤波同时会带来相位的损失，为了补偿这种相位的损失，可以利用TD给出的微分信号来进行适当的预报修正，会去的较好的效果。
1）先微分，后预报
$$\begin{cases} v_0(t)=sin(t)+n(t)\\ fh=fhan(v_1(t)-v_0(t),v_2(t),r,h_0)\\ v_1(t+h)=v_1(t)+hv_2(t)\\ v_2(t+h)=v_2(t)+hfh\\ \bar v(t)=v_1(t)+h_1v_2(t) \end{cases}$$
2）先预报，后微分
$$\begin{cases} v_0(t)=sin(t)+n(t)\\ v(t)=v_0(t)+h_1v_2(t)\\ fh=fhan(v(t)-v_0(t),v_2(t),r,h_0)\\ v_1(t+h)=v_1(t)+hv_2(t)\\ v_2(t+h)=v_2(t)+hfh\\ \end{cases}$$
这里一般取预报时间$h_1,h_2\approx(1 - 1.5)h_0$

三、非光滑反馈的功能和效率

$\qquad$这章主要围绕不同反馈形式在改造系统动态性能和抑制不确定扰动方面有不同的效果展开探讨。

3.1非线性状态反馈

直接反馈线性化方法：
$\qquad$用状态反馈把“非线性控制系统”转化为“线性控制系统”的能力在一般常微分方程理论中没有，而只在控制系统中的状态反馈机制所特有的独特功能。
假定系统的状态变量$x_1,x_2$是随时能够获取的。

当函数$f(x_1,x_2,u)$已知且对任意$v$，函数方程

$$f(x_1,x_2,u)=v$$ 可解（如当$f$可微且$\frac{\partial f} {\partial u}\ne 0$时）

$$u=k(x_1,x_2,v)$$
$$\begin{cases} \dot x_1=x_2\\ \dot x_2=f(x_1,x_2,k(x_1,x_2,v))=v \end{cases}$$
这是一个纯积分器串联型的线性控制系统。对它再实施误差反馈（假定$v_1(t)$为设定轨线）
$$\begin{cases} e_1=v_1(t)-x_1,e_2=\dot v_1-x_2\\ v=\beta_1e_1+\beta_2e_2 \end{cases}$$
就能达到系统输出$y=x_1$的跟踪目标值$v_1(t)$的控制目的。
$\qquad$如需要闭环系统具有给定的动态特性：
$$\begin{cases} \dot y_1=y_2\\ \dot y_2=g(y_1,y_2) \end{cases}$$
此时，只需要将状态反馈$v=g(x_1,x_2)$那么系统最后将变成与希望系统一样的动态系统。

本节重要结论：

1. 线性状态反馈效率比某些非线性状态反馈效率要低
2. 在用状态反馈消去原有动态特性时，不管是采用“先全部消去再配置新特性”还是“保留精华补充配置”它们所需的控制量是相同的。

3.2线性反馈

线性反馈和非线性反馈的区别。
光滑反馈与非光滑反馈的区别。
设置反馈环节如：

$$u=-k|x|^\alpha sign(x),0<\alpha<1$$

1. $\alpha\ne0$时，反馈是非线性的。
2. $\alpha=0$时，反馈是线性的。
3. $\alpha>1$时，函数$k|x|^\alpha sign(x)$处处可微，是光滑的
4. $\alpha<1$时，在$x=0$处不可微，导数趋近无穷大，是非光滑的。

对于线性反馈，减少稳态误差的办法通常有两种：

1. 增大反馈增益k,但是反馈增益的增大常常引起别的不良后果，如当误差较大时反馈量过大，执行机构提供不了那么大的能量来实现；被控对象的线性特性实在工作点附近的局部特性，大的反馈增益常常会引起变量的大幅变化，这就超出线性特性范围，容易引起复杂的非线性现象。
2. 引入积分反馈来消除稳态误差。但是积分反馈的引入也会带来其它不良后果，如易产生控制量饱和、使系统变迟钝、容易产生不良振荡。

在比较非线性反馈和线性反馈在稳态误差上面的结果：
1、非线性反馈所留下的稳态误差远小于线性反馈留下的稳态误差。
2、当非线性幂次越低，稳态误差就越小，而且随着$\alpha\to 0$稳态误差也趋于0。
3、特别的是当幂次$\alpha$减少到0时，那么状态反馈变为$u=-ksign(x)$。这个时候，不管$w(t)$在$|w(t)|<w_0$上怎么变化只要反馈增益$k$超过$w_0$那么闭环的稳态误差都为0。完全抑制了外扰作用。

分析非线性反馈对抑制扰动的效果上：

1. 从抑制扰动能力上来看，大幂次的反馈不如小幂次的反馈。
2. 从抑制扰动的效率上来看，增大反馈增益k的效力不如减少幂次$\alpha$的效力

分析比较光滑反馈与非光滑反馈抑制扰动效果上

1. 非线性反馈中，光滑反馈抑制外扰的效率远比非光滑反馈差。
2. 在光滑反馈的范围来看“线性反馈”抑制扰动效果最好；但在非光滑反馈的范围来看“线性反馈”却是抑制扰动能力最差的一个。

3.3最速反馈控制

以直线为滑动曲线的变结构反馈控制：
直线

$$s=x_1+kx_2$$
闭环系统：
$$\begin{cases} \dot x_1=x_2\\ \dot x_2=-r_1sign(x_1+kx_2)+w\\ \end{cases}$$
变结构控制系统达到滑动曲线$s=0$的“到达条件”：
$$s\dot s<0\\ (\frac{x_2}{k}+w)sign(s)<r_1\\ $$
当$|w|<r_2<r_1$,那么当不等式:
$$|\frac{x_2}{k}|<r_1-r_2$$
时保证满足“到达条件”。

以非线性曲线为滑动曲线的变结构反馈控制：
抛物线：

$$x_1+\frac{x_2|x_2|}{2r}=0$$
闭环系统：
$$\begin{cases} \dot x_1=x_2\\ \dot x_2=-r_1sign(x_1+\frac{x_2|x_2|}{2r})+w\\ \end{cases}$$
变结构控制系统达到滑动曲线$s=0$的“到达条件”：
$$\frac{r_1}{r}>sign(s)(sign(x_2)+\frac{w}{r})$$
只要假定扰动范围满足不等式：
$$|w|\le r_2,r+r_2<r_1$$
时保证满足“到达条件”

两者对比：

1.共同点：都能够完全抑制扰动$w(|w|<\Delta r)$的作用而使轨线都收敛于原点。
2.不同点：前者（直线）只能在滑动线的有限线段上满足“到达条件”，不能再整条滑动线上满足“到达条件”。
3.不同点：前者轨线可能需要多次切换来到达滑动线段，而沿滑动线的以指数衰减率收敛于原点。后者轨线最多切换一次后就能沿着滑动曲线以有限时间到达原点。

最速反馈控制不变性原理：
$\qquad$最速反馈控制率对系统模型和扰动的不变性原理：

从上面的变结构反馈控制中不难发现，在理论上，不管$w$是什么样的函数，只要在有界区域$M$内满足$|w(x_1,x_2,t)|<r_2$，那么选取$r_1>r+r_2$来构造的变结构反馈控制律就能使闭环系统从区域M内出发的所有轨线，都以有限时间到达原点。

实验发现：
$\qquad$由于离散最速反馈控制具有快速并消除震颤的特殊功能，因此用它来进行状态反馈的非线性配置、非线性PID和自抗扰控制器中的误差的非线性组合等是很理想的。

3.4最速反馈函数的性质

考虑闭环系统：

$$\begin{cases} \dot x_1=x_2\\ \dot x_2=-rsign(x_1+\frac{x_2|x_2|}{2r}) \end{cases}$$
可以用系统的倒退方程求得所有轨线以有限时间$T$到达原点：
$$T(x_1,x_2)=s\frac{x_2}{r}+\frac{2}{\sqrt{r}}\sqrt{\frac{x_2^2}{2r}+sx_1}$$
将最速时间函数$T(x_1,x_2)$看成闭环系统的李雅普诺夫函数，则满足等式： $$\frac{\partial T(x_1,x_2)}{\partial x_1}\dot x_1+\frac{\partial T(x_1,x_2)}{\partial x_2}\dot x_2=-1$$

考虑闭环系统：

$$\begin{cases} \dot x_1=x_2\\ \dot x_2=-r_1sign(x_1+\frac{x_2|x_2|}{2r}) \end{cases}$$
可以用系统的倒退方程求得所有轨线以有限时间$t$到达原点：
$$s=sign(x_1+\frac{x_2}{2r})\\s_1=sign(x_1+\frac{x_2}{2r})\\a_1=\sqrt{2\frac{r+r_1}{rr_1}},a_2=\sqrt{2\frac{r_1-r}{rr_1}}\\a=a_1\frac{1+s_1s}{2}+a_2\frac{1-s_1s}{2}\\ t(x_1,x_2)=s\frac{x_2}{r}+a\sqrt{s_1(x_1+s\frac{x_2^2}{2r_1})}$$
将最速时间函数$t(x_1,x_2)$看成闭环系统的李雅普诺夫函数，则满足等式： $$\frac{\partial t(x_1,x_2)}{\partial x_1}\dot x_1+\frac{\partial t(x_1,x_2)}{\partial x_2}\dot x_2=-1$$

若有一个连续的李雅普诺夫函数$V(x_1,x_2)$,满足不等式

$$\frac{dV}{dt}=\frac{\partial V}{\partial x_1}\dot x_1+\frac{\partial V}{\partial x_2}\dot x_2<-a,a=const>0$$
那么在满足条件$|\frac{\partial V(x_1,x_2)}{\partial x_2}w(t)|<a$的扰动$w(t)$的作用下，受扰系统
$$\begin{cases} \dot x_1=x_2\\ \dot x_2=u+w(t) \end{cases}$$
中的状态反馈，可以理解成，状态反馈$u=f(x_1,x_2)$能够抑制满足条件$|\frac{\partial V(x_1,x_2)}{\partial x_2}w(t)|<a$的扰动$w(t)$的作用，使闭环系统渐进稳定。

3.5三阶线性最速控制系统的开关曲面

考虑三阶线性控制系统：

$$\begin{cases} \dot x_1=x_2\\ \dot x_2=x_3\\ \dot x_3=u,|u|\le r \end{cases}$$

在所有的最速轨线上，控制量的绝对值始终取最大值$|u|=r$，并且在到达原点之前的整个过程中，控制量最多开关两次。控制量最多开关一次的所有最速轨线将在三维状态空间中编制出一个二维曲面，这个曲面是在整个状态空间中最速控制综合函数$u(x_1,x_2,x_3)$取$+r$和$-r$的分界面，被称为“开关曲面”。因此要确定此开关曲面，将采用从原点出发积分倒退方程来确定。

最终求得：

$$\begin{cases} s=sign(x_2+\frac{|x_3|x_3}{2r})\\ a=sx_2+\frac{x_3^2}{2r}\\ b=\frac{x_3}{r}\\ x_1=-sa(\sqrt\frac{a}{r}+sb)+\frac{r}{6}b^3 \end{cases}$$

$$u(x_1,x_2,x_3)=-rsign(x_1+s(sx_2+\frac{x_3^2}{2r})(\frac{1}{\sqrt r}\sqrt{sx_2+\frac{x_3}{r}}+s\frac{x_3}{r})-\frac{x_3^2}{6r^2})$$

$\qquad$利用这个最速控制反馈函数可以构造出同时提取信号$v(t)$的一阶、二阶微分的跟踪微分器：

$$\begin{cases} \dot x_1=x_2\\ \dot x_2=x_3\\ \dot x_3=u(x_1-v(t),x_2,x_3) \end{cases}$$

3.6随动问题和调节问题

$\qquad$任何实在的反馈控制都是靠误差来实现的，并且都有一个控制目标，这个控制目标也许是一个给定的常值，也许是一个时变的运动轨迹。
考虑控制目标信号$v(t)$是由如下动态系统：

$$\dot v=w(v,t),|w(v,t)|\le w_0$$
产生，对系统：
$$\dot x=f(x,t)+u$$
施加误差$e=v-x$的反馈$u=\varphi (e)=\varphi (v-x),(e\varphi(e)>0)$来让$x(t)$跟踪$v(t)$。
那么这个问题的误差方程为：
$$\dot e=\dot v-\dot x=w(v,t)-f(x,t)-u=w(v,t)-f(v-e,t)-\varphi(e)$$
令$g(e,t)=w(v,t)-f(x,t)$，那么当：
$$eg(e,t)<e\varphi(e)$$
时，就有：
$$\frac{de^2}{dt}=2e\dot e<0$$

$\qquad$因此控制系统设计问题其实就是选择满足不等式$eg(e,t)<e\varphi(e)$的函数$u=\varphi(e)$的问题。若能选择满足这个不等式的$\varphi(e)$，它就能抑制一定范围的确定的和不确定因素$w(v,t)-f(v-e,t)=W(e,v,t)$的作用且能达到$e\to 0$的目的。

当$v(t)=const$时，为“调节问题”
当$v(t)$为事先未知其变化规律，只能实时地得到$v(t)$的问题，即“随动问题”或“跟踪问题”

4 扩张状态观测器

$\qquad$我们认为控制系统中的负反馈对扰动有一定的抑制作用，但是不能完全消除其影响。在消除扰动影响方面，控制工程历史上曾有两个原理：

1. "绝对不变性原理"：对扰动直接量测，消除扰动。
2. “内模原理”：基于知道生成扰动的模型基础上，消除扰动。

$\qquad$从控制角度分析，如果某一种扰动作用不影响系统的被控输出（即这种扰动从被控输出不能观测，或者这种扰动不能控制被控输出），那么在控制被控输出的过程中是用不着考虑消除这种扰动的影响。需要消除的是能够影响被控输出的那种扰动（即由被控输出能观测，或能控被控输出的那种扰动）。
$\qquad$既然某一种扰动能够影响被控输出，那么其作用就应该反映在这个被控输出信息中，从而就有可能以适当的方式处理被控输出信息来估计出其作用。一旦影响被控输出的扰动作用被估计出来，就有可能用补偿的办法来消除其影响了。在控制工程中常常采用“前馈补偿”的措施，这实际上是直接或间接测量扰动来进行“扰动补偿”的办法。
$\qquad$借用状态观测器的思想：把能够影响被控输出的扰动作用扩张成新的状态变量，用特殊的反馈机制来建立能够观测被扩张的状态——扰动作用的扩张状态观测器。
$\qquad$其好处在于：

1. 不依赖于生成扰动的具体数学模型。
2. 不需要直接去测量其作用。

4.1状态观测器

$\qquad$状态观测器：通过对系统外部变量的观测来确定系统内部状态变量的装置。
动态过程的系统外部变量：
1. 系统传给外部的输出变量
2. 外部给系统的输入变量

线性控制系统：

$$\begin{cases} \dot X=AX+BU\\ \dot Y=CX\\ \end{cases}$$
引入反馈量L，构造新系统：
$$\dot Z=AZ-L(CZ-Y)+BU\\ \qquad (A-LC)Z+LY+BU$$
记$e=Z-X$
$$\dot e=(A-LC)e$$
只要选取合适的矩阵$L$，使得：
$$A-LC$$
稳定（系统（$A,C$）的能观性保证了这样的$L$存在），就有$e\to 0$，从而$Z\to X$。新设计的系统状态$Z$就能近似地估计出源系统的所有状态变量$X$。因此，所得观测器：
$$\begin{cases} e=CZ-Y\\ \dot Z=AZ-Le+BU \end{cases}$$

二阶系统的观测器具体形式：
线性系统：
1、系统参数已知：

$$\begin{cases} \dot x_1=x_2\\ \dot x_2=a_1x_1+a_2x_2+bu\\ y=x_1 \end{cases}$$

观测器：

$$\begin{cases} e_1=z_1-y\\ \dot z_1=z_2-l_1e_1\\ \dot z_2=(a_1z_1+a_2z_2)-l_2e_1+bu \end{cases}$$

原系统误差方程：

$$\begin{cases} e_1=z_1-x_1,e_2=z_2-x_2\\ \dot e_1=-l_1e_1+e_2\\ \dot e_2=(-l_2+a_1)e_1+a_2e_2\\ \end{cases}$$

2、系统参数未知：
观测器：

$$\begin{cases} e_1=z_1-y\\ \dot z_1=z_2-l_1e_1\\ \dot z_2=-l_2e_1+bu \end{cases}$$

非线性系统：
1、非线性函数已知：

$$\begin{cases} \dot x_1=x_2\\ \dot x_2=f(x_1,x_2)+bu\\ y=x_1\\ \end{cases}$$

观测器：

$$\begin{cases} e_1=z_1-y\\ \dot z_1=z_2-l_1e_1\\ \dot z_2=f(z_1,z_2)-l_2e_1+bu \end{cases}$$

原系统误差方程：

$$\begin{cases} e_1=z_1-x_1,e_2=z_2-x_2\\ \dot e_1=-l_1e_1+e_2\\ \dot e_2=f(x_1+e_1，x_2+e_2)-f(x_1,x_2)-l_2e_1\\ \end{cases}$$

2、非线性函数未知：
观测器：

$$\begin{cases} e_1=z_1-y\\ \dot z_1=z_2-\beta_{01} g_1(e_1)\\ \dot z_2=-\beta_{02}g_2(e_1)+bu\\ \end{cases}$$

4.2 状态观测器观测误差的讨论

系统：

$$\begin{cases} \dot x_1=x_2\\ \dot x_2=f(x_1,x_2)+bu\\ y=x_1 \end{cases}$$
1、考虑线性状态观测器：
$$\begin{cases} e_1=z_1-y\\ \dot z_1=z_2-\beta_{01}e_1\\ \dot z_2=-\beta_{02}e_1+bu\\ \end{cases}$$

假设$f(x_1,x_2)=w_0=const$，那么进入稳态时，就有

$$\begin{cases} e_1=z_1-x_1,e_2=z_2-x_2\\ \dot e_1=e_2-\beta_{01}e_1\\ \dot e_2=w_0-\beta_{02}e_1 \end{cases}$$
则$w_0-\beta_{02}e_1=e_2-\beta_{01}e_1=0$
此时稳态误差为：
$$e_1=\frac{w_0}{\beta_{02}},e_1=\beta_{01}\frac{w_0}{\beta_{02}}$$

2、考虑非线性状态观测器：

$$\begin{cases} e_1=z_1-y\\ \dot z_1=z_2-\beta_{01}e_1\\ \dot z_2=-\beta_{02}|e_1|^{\frac 12}sign(e_1)+bu\\ \end{cases}$$

假设$f(x_1,x_2)=w_0=const$，那么进入稳态时，就有

$$\begin{cases} e_1=z_1-x_1,e_2=z_2-x_2\\ \dot e_1=e_2-\beta_{01}e_1\\ \dot e_2=w_0-\beta_{02}fal(e_1,\frac 12,\delta) \end{cases}$$
则$w_0-\beta_{02}fal(e_1,\frac 12,\delta)=e_2-\beta_{01}e_1=0$
此时稳态误差为：
$$e_1=(\frac{w_0}{\beta_{02}})^{2},e_1=\beta_{01}(\frac{w_0}{\beta_{02}})^{2}$$

当$\beta_{02}》w_0$时，有关系式

$$\frac{w_0}{\beta_{02}}》(\frac{w_0}{\beta_{02}})^{2}$$

显然，用非线性$g_1(e_1),g_2(e_1)$设计的状态观测器的状态跟踪效率比起线性状态观测器高很多。

4.3扩张状态观测器

考虑非线性系统：

$$\begin{cases} \dot x_1=x_2\\ \dot x_2=f(x_1,x_2)+bu\\ y=x_1 \end{cases}$$

将作用于开环系统的加速度$f(x_1(t),x_2(t))$的实时作用量扩充成新的状态变量$x_3$，记作：

$$x_3(t)=f(x_1(t),x_2(t))$$

新系统：

$$\begin{cases} \dot x_1=x_2\\ \dot x_2=x_3+bu\\ \dot x_3=w(t)\\ y=x_1 \end{cases}$$

扩张状态观测器：

$$\begin{cases} e_1=z_1-y\\ \dot z_1=z_2-\beta_{01}e_1\\ \dot z_2=z_3-\beta_{02}|e_1|^{\frac 12}sign(e_1)+bu\\ \dot z_3=-\beta_{03}|e_1|^{\frac 14}sign(e_1) \end{cases}$$

这样做的好处是针对加速度的实时作用量：

$$a(t)=f(x_1(t),x_2(t),t,w(t))$$
不管是连续的还是不连续的，已知的还是未知的，只要它在过程进程中的实时作用量是有界的，并且参数$b$是已知的，总能选择合适的参数$\beta_{01},\beta_{02},\beta_{03}$，使得扩张状态观测器能很好的实时估计对象的状态$x_1,x_2$以及被扩张的状态$x_3$,因此扩张状态观测器是独立于描述对象传递函数关系的函数$f$的具体形式的。

分析其误差方程：

$$\begin{cases} \dot e_1=e_2-\beta_{01}e_1,\qquad\qquad e_1=z_1-y\\ \dot e_2=e_3-\beta_{02}|e_1|^{\frac 12}sign(e_1),\qquad e_2=z_2-x_2\\ \dot e_3=w_0-\beta_{03}|e_1|^{\frac 14}sign(e_1),\qquad e_3=z_3-x_3 \end{cases}$$
进入稳态:
$$|e_1|=(\frac{w_0}{\beta_{03}})^4,|e_2|=\beta_{01}(\frac{w_0}{\beta_{03}})^3,|e_3|=\beta_{02}(\frac{w_0}{\beta_{03}})^2$$
只要$\beta_{03}$足够大于$w_0$，这些估计误差都会足够小。

动态补偿线性化过程：
$\qquad$对非线性控制系统用扩张状态观测器估计的结果来把控制量取成如下形式：

$$u=u_0-\frac{z_3(t)}{b}\\ 或 u=\frac{u_0-z_3(t)}{b}$$
这样，无论对象是确定性的还是不确定性的，线性的还是非线性的，时变的还是时不变的，经过上式形式的补偿，均可以将系统化为积分器串联型被控系统。

ESO核心思想：
$\qquad$在系统中，加速度作用$f(x_1,x_2,t,w(t))$通常包含三部分加速度：

1. 系统已建摸动态，即确知的加速度部分$f_0(x_1,x_2)$
2. 系统的未建模动态，即不确定的加速度部分$f_1(x_1,x_2,t)$
3. 外扰作用部分$w(t)$
   $\qquad$ESO核心思想就是把这三种加速度的“总和”作用看作作用于积分器串联型系统的“总和扰动”作用。通过ESO估计这个“总和扰动”力或者“未知扰动”的力，如下所示：

$\qquad$很多时候，系统的函数$f(x_1,x_2)$可分解为：

$$f(x_1,x_2)=f_0(x_1,x_2)+f_1(x_1,x_2,t,w(t))$$
$\qquad$控制项部分被分解为：
$$bu=(b-b_0)u+b_0u$$
其中，函数$f_0(x_1,x_2)$和参数$b_0$是系统中确知的部分。这时只要把扩张状态观测器改成：
$$\begin{cases} e_1=z_1-y\\ \dot z_1=z_2-\beta_{01}e_1\\ \dot z_2=z_3-\beta_{02}fe+f_(z_1,z_2)+b_0u\\ \dot z_3=-\beta_{03}fe_1 \end{cases}$$
即把系统的已知部分放进扩张状态观测器中，有：
$$z_1(t)\to x_1(t),z_2(t)\to x_2(t)\\ z_3(t)\to x_3(t)=f_1(x_1(t),x_2(t),t,w(t))+(b-b_0)u(t)$$
如此，只要在扩张状态观测器中放入对象模型的完全已知部分，那么背扩张的状态变量$x_3(t)$估计值$z_3(t)$估计的是作用于系统的所有未知的加速度部分。

4.4其他形式的扩张状态观测器

$\qquad$之前一直用非线性幂次函数$f(e,\alpha,\delta)$替代线性反馈设计观测器。可以发现：

$$\begin{cases} fal(e,1.0,\delta)=e,\qquad \alpha=1\\ fal(e,0.0,\delta)=sat(e,\delta),\qquad \alpha=0\\ \end{cases}$$
这样子，其实可以从线性和非线性两大类区分：
当取线性ESO时：
$$\begin{cases} e=z_1-y\\ z_1=z_1+h(z_2-\beta_{01}e)\\ z_2=z_2+h(z_3-\beta_{o2}e+bu)\\ z_3=z_3+h(-\beta_{03}e) \end{cases}$$
其输入到输出$z_1,z_2,z_3$之间的传递函数分别为：
$$\begin{cases} z_1=w_1(s)y=\frac{\beta_{01}s^2+\beta_{02}s+\beta_{03}}{s^3+\beta_{01}s^2+\beta_{02}s+\beta_{03}}y\\ z_2=w_2(s)y=\frac{\beta_{02}s^2+\beta_{03}s}{s^3+\beta_{01}s^2+\beta_{02}s+\beta_{03}}y\\ z_3=w_3(s)y=\frac{\beta_{03}s^2}{s^3+\beta_{01}s^2+\beta_{02}s+\beta_{03}}y\\ \end{cases}$$
在“总和扰动”的变化范围不太大的情况下，用线性ESO进行估计的效果也不错。但是保证一定的估计精度，需要取比较大的增益，即系数$\beta_{01},\beta_{02},\beta_{03}$就要取得大一些，这就是所谓的“高增益状态观测器”的形式。

$\color{red}{线性扩张状态观测器参数确定：(理论对的，实验测试没通过)}$
$\qquad$一般的，稳定的比较好且能给出较好过渡过程的特征方程形式为$(s+w)^3$，因此对一阶、二阶、三阶对象来说：

$$\beta_{01}=2\omega,\beta_{02}=\omega^2\\ \beta_{01}=3\omega,\beta_{02}=3\omega^2,\beta_{02}=\omega^3\\ \beta_{01}=4\omega,\beta_{02}=6\omega^2,\beta_{03}=4\omega^3,\beta_{04}=\omega^4\\$$

4.5 系统输出被噪声污染时的扩张状态观测器

$\qquad$在测量实际输出信号时，往往得到的是带有噪声污染的信号，这里可以采用之前一阶惯性环节滤波、跟踪微分器滤波等方法：
被测对象：

$$\begin{cases} \dot x_1=x_2\\ \dot x_2=f(x_1,x_2，t,w(t))\\ y=x_1+n(t) \end{cases}$$

跟踪微分器进行噪声滤波 & 微分信号来进行预测所得到的滤波值建立扩张状态观测器

$$\begin{cases} fh=fhan(v_1-y,v_2,r_0,h_1)\\ v_1=v_1+hv_2\\ v_2=v_2+hfh\\ y_0=v_1+k_0hv_2\\ \\ e=z_1-y_0,fe=fal(e,0.5,h),fe_1=fal(e,0.25,h)\\ z_1=z_1+h(z_2-\beta_{01}e)\\ z_2=z_2+h(z_3-\beta_{02}fe)\\ z_3=z_3+h(-\beta_{03}fe_1) \end{cases}$$

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