（4轴同步控制）非线性PID仿真结果分析

自抗扰技术（ADRC）

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一.实验内容

1. 4轴电机（伺服系统）设定位置同步控制
2. 4轴电机（伺服系统）设定点轨迹同步跟踪控制

二.实验方案

1. 辨识单轴伺服系统速度模式下的数学模型。
2. 定义同步误差
3. 定义耦合位置误差
4. 根据耦合位置误差设计非线性PID控制器

三.实验具体步骤

数学模型：

$$\frac{X(s)}{V(s)}=\frac{K}{s(Ts+1)}\\ \\H\ddot x(t)+C\dot x(t)=V(t)$$

同步误差：

$$e_i=x_i^d-x_i$$
$$\begin{cases} \varepsilon_1=2e_1-(e_2+e_n)\\ \varepsilon_2=2e_2-(e_3+e_1)\\ \qquad\vdots\\ \varepsilon_i=2e_i-(e_{i+1}+e_{i-1})\\ \qquad\vdots\\ \varepsilon_n=2e_n-(e_1+e_{n-1})\\ \end{cases} \iff \begin{bmatrix} \varepsilon_1\\ \varepsilon_2\\ \vdots\\ \varepsilon_{n-1}\\ \varepsilon_{n}\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 2 & -1 & 0 &\dots & -1\\ -1 & 2 & -1 &\dots & 0\\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots\\ 0 & \dots & -1 &2 & -1\\ -1 & 0 & \dots &-1 & 2\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} e_1\\ e_2\\ \vdots\\ e_{n-1}\\ e_{n}\\ \end{bmatrix}$$ $$\\ \\ \\ \varepsilon=Te$$

耦合位置误差：

$$E=e+\alpha \varepsilon$$

设计设定点位置同步控制器：

$$V=K_PE+K_D\dot E+(I+\alpha T)^{-1}K_e\dot e$$
设计设定点轨迹同步跟踪控制器：
$$V=K_H\ddot x^d+K_C\dot x^d+K_PE+K_D\dot E+(I+\alpha T)^{-1}K_e\dot e+sign(\dot E)K_N$$

四.仿真程序

$$\begin{cases} \dot x_1=x_2\\ \dot x_2=H^{-1}(V-Cx_2)\\ y=x_1\\ \end{cases}\iff\begin{cases} x_1(k+1)=x_1(k)+hx_2(k)\\ x_2(k+1)=H^{-1}(V(k)-Cx_2(k))\\ y(k)=x_1(k)\\ \end{cases}$$
1、考虑用两个跟踪微分器来实现“非线性PD”

%% Set-Point Position Control
clear;clc;
%% 参数配置
H=diag([0.1 0.2 0.3 0.4]);C=diag([10 12 14 15]);%假设H,C阵
I=eye(4);%单位矩阵
T=[2,-1,0,-1;-1,2,-1,0;0,-1,2,-1;-1,0,-1,2];%同步转换矩阵
a=0.5*eye(4);%k控制增益
N=I+a*T;%耦合转换矩阵
h=0.005;%反馈时间5ms
maxit=20/h;%20s采样点个数
h0=20*h;h1=20*h;h2=20*h;h3=20*h;h4=20*h;%各跟踪微分器滤波因子
xd=zeros(1,maxit);%设定值，4轴相同
x1=zeros(4,maxit+1);%状态变量x1 
x2=zeros(4,maxit+1);%状态变量x2
e1=zeros(4,maxit+1);%位置误差e
e2=zeros(4,maxit+1);%位置误差导数e’
E1=zeros(4,maxit+1);%耦合位置误差E
E2=zeros(4,maxit+1);%耦合位置误差导数E’
vv=zeros(2,maxit+1);%xd的跟踪微分器1
vv2=zeros(3,maxit+1);%xd的跟踪微分器2
zz1=zeros(2,maxit+1);%1轴输出信号的跟踪微分器
zz2=zeros(2,maxit+1);%2轴输出信号的跟踪微分器
zz3=zeros(2,maxit+1);%3轴输出信号的跟踪微分器
zz4=zeros(2,maxit+1);%4轴输出信号的跟踪微分器
%% 设定点位置同步控制器参数
KP=30*eye(4);%P
KD=5*eye(4);%D
KE=0*eye(4);
for k=1:maxit
    %% 设定值xd=6
    xd(k)=6;
    %% xd的跟踪微分器1
    fh=fhan(vv(1,k)-xd(k),vv(2,k),r,h0);
    vv(1,k+1)=vv(1,k)+h*vv(2,k); % x
    vv(2,k+1)=vv(2,k)+h*fh; %v
    %% xd的跟踪微分器2
    fhh=fhan(vv2(1,k)-vv(2,k),vv2(2,k),r,h0);
    vv2(1,k+1)=vv2(1,k)+h*vv2(2,k); % v
    vv2(2,k+1)=vv2(2,k)+h*fhh; % a
    %% 输出y
    y=[x1(1,k),x1(2,k),x1(3,k),x1(4,k)]’;
    %1轴输出信号的跟踪微分器
    fh1=fhan(zz1(1,k)-y(1),zz1(2,k),r1,h1);
    zz1(1,k+1)=zz1(1,k)+h*zz1(2,k);
    zz1(2,k+1)=zz1(2,k)+h*fh1;
    %2轴输出信号的跟踪微分器
    fh2=fhan(zz2(1,k)-y(2),zz2(2,k),r2,h2);
    zz2(1,k+1)=zz2(1,k)+h*zz2(2,k);
    zz2(2,k+1)=zz2(2,k)+h*fh2;
    %3轴输出信号的跟踪微分器
    fh3=fhan(zz3(1,k)-y(3),zz3(2,k),r3,h3);
    zz3(1,k+1)=zz3(1,k)+h*zz3(2,k);
    zz3(2,k+1)=zz3(2,k)+h*fh3;
    %4轴输出信号的跟踪微分器
    fh4=fhan(zz4(1,k)-y(4),zz4(2,k),r4,h4);
    zz4(1,k+1)=zz4(1,k)+h*zz4(2,k);
    zz4(2,k+1)=zz4(2,k)+h*fh4;
    %位置误差
    e1(:,k)=[vv(1,k)-zz1(1,k),vv(1,k)-zz2(1,k),vv(1,k)-zz3(1,k),vv(1,k)-zz4(1,k)]’;
    %位置误差导数
    e2(:,k)=[vv(2,k)-zz1(2,k),vv(2,k)-zz2(2,k),vv(2,k)-zz3(2,k),vv(2,k)-zz4(2,k)]’;
    %耦合位置误差
    E1(:,k)=N*e1(:,k);
    %耦合位置误差导数
    E2(:,k)=N*e2(:,k);
    F=tanh(E2(:,k));
    %% 控制器
    U=KP*E1(:,k)+KD*E2(:,k)+(I/N)*KE*e2(:,k);
    Tempx2=[x2(1,k),x2(2,k),x2(3,k),x2(4,k)]’;
    %% 离散控制
    Tempx11=y+h*Tempx2;
    Tempx22=Tempx2+h*(I/H)*((-1)*C*Tempx2+U);
    %% 输出序列
    x1(1,k+1)=Tempx11(1);x2(1,k+1)=Tempx22(1);
    x1(2,k+1)=Tempx11(2);x2(2,k+1)=Tempx22(2);
    x1(3,k+1)=Tempx11(3);x2(3,k+1)=Tempx22(3);
    x1(4,k+1)=Tempx11(4);x2(4,k+1)=Tempx22(4);
end

同理：

%% Set-Point Tracking Control 
设定点轨迹同步跟踪控制器参数
KP=20*eye(4);
KD=5*eye(4);
KE=0*eye(4);
KH=0.3*eye(4);
KC=2*eye(4);
KN=0;
%% 控制器
U=KH*(vv2(2,k)*[1,1,1,1]’)+KC*(vv2(1,k)*[1,1,1,1]’)+KP*E1(:,k)+KD*E2(:,k)+(I/N)*KE*e2(:,k)+F*KN;

2、考虑用不同误差组合方式实现“非线性PD”

$$\begin{cases} (1)u=\beta_1 fal(e_1,\alpha_1,delta)+\beta_2 fal(e_2,\alpha_2,delta)\\ \alpha_1=0.6,\alpha_2=1.2,\delta=h或\alpha_1=0.75,\alpha_2=1.5,\delta=kh\\ (2)u=-fhan(e_1,e_2,r_1,h_1)\\ (3)u=-fhan(e_1,ce_2,r_2,h_2)\\ \end{cases}$$

%% Set-Point Position Control
%% (1)u=\beta_1 fal(e_1,\alpha_1,delta)+\beta_2 fal(e_2,\alpha_2,delta)\\
Beta1=30*eye(4);
Beta2=2*eye(4);
alpha1=0.75;alpha2=1.5;delta=20*h;
%% (2)u=-fhan(e_1,e_2,r_n,h_n)\\
rn=30;hn=30*h;
%% (3)u=-fhan(e_1,ce_2,r_2,h_2)\\
rn=30;hn=30*h;c=2;

同理：

%% Set-Point Tracking Control 
%% (1)u=\beta_1 fal(e_1,\alpha_1,delta)+\beta_2 fal(e_2,\alpha_2,delta)\\
Beta1=20*eye(4);
Beta2=20*eye(4);
alpha1=0.6;alpha2=1.2;delta=h;
%% (2)u=-fhan(e_1,e_2,r_n,h_n)\\
rn=20;hn=30*h;
%% (3)u=-fhan(e_1,ce_2,r_2,h_2)\\
rn=20;hn=30*h;c=2;

五.实验结果

1、考虑用两个跟踪微分器来实现“非线性PD”
设定点位置控制

放大（“Set-Point Position Control”）图：

可以看到4个轴在大致3秒的时候就达到目标位置了。而位置误差和位置同步误差也在大致3秒的时候就收敛到0了。

设定点轨迹跟踪控制




放大（“Set-Point Tracking Control”）图：

可以看到4个轴在大致4秒的时候就达到目标位置了。而位置误差和位置同步误差也在大致4秒的时候就收敛到0了。

2、考虑用不同误差组合方式实现“非线性PD”
设定点位置控制

$$(1)\begin{cases} u=\beta_1 fal(e_1,\alpha_1,delta)+\beta_2 fal(e_2,\alpha_2,delta)\\ \alpha_1=0.6,\alpha_2=1.2,\delta=h或\alpha_1=0.75,\alpha_2=1.5,\delta=kh\\ \end{cases}$$

$$(2)\begin{cases} u=-fhan(e_1,e_2,r_1,h_1)\\ \end{cases}$$

$$(3)\begin{cases} u=-fhan(e_1,ce_2,r_1,h_1)\\ \end{cases}$$

从这里可以看出，在同样的增益下，三种不同误差组合方式中第一种效果最好（暂态特性最好）。但是第一种的效果仍然与线性PD组合效果相近。

设定点轨迹跟踪控制

$$(1)\begin{cases} u=\beta_1 fal(e_1,\alpha_1,delta)+\beta_2 fal(e_2,\alpha_2,delta)\\ \alpha_1=0.6,\alpha_2=1.2,\delta=h或\alpha_1=0.75,\alpha_2=1.5,\delta=kh\\ \end{cases}$$

$$(2)\begin{cases} u=-fhan(e_1,e_2,r_1,h_1)\\ \end{cases}$$

$$(3)\begin{cases} u=-fhan(e_1,ce_2,r_1,h_1)\\ \end{cases}$$



同样，从这里可以看出，在同样的增益下，三种不同误差组合方式中第一种效果最好（暂态特性最好）。但是在同步误差上可以发现非线性组合的第一种情况比线性PD组合的暂态特性要好，小了0.6。

六.主要参考文献

Sun D, Shao X, Feng G. A Model-Free Cross-Coupled Control for Position Synchronization of Multi-Axis Motions: Theory and Experiments[J]. IFAC Proceedings Volumes, 2005, 38(1):1-6.

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