实验-速度环PID直流电机控制

实用运动控制技术

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设计目的

实验原理

电枢电压控制时的电枢等效电路：

根据牛顿第二定律和回路电压法分别列写出运动平衡方程式和电机电枢回路方程式：
电压平衡方程：$u_a(t)=R_ai_a(t)+L_a\frac{di_a(t)}{dt}+E_a(t)$
感应电动势方程：$E_a(t)=K_e\omega$
电磁转矩方程：$T(t)=K_ti_a(t)$
转矩平衡方程：$T(t)=J\frac{d\omega(t)}{dt}+B\omega(t)+T_d(t)$
消除中间变量后，可以得到以电枢电压$U_a(s)$为输入变量，电机转速$\Omega(s)$为输出变量的传递函数为：

$$\frac{\Omega(s)}{U_a(s)}=\frac{K_t}{L_aJs^2+(L_aB+R_aJ)s+R_aB+K_eK_t}$$
PID控制器的功能：
比例环节：$K_p$增大等价于系统的开环增益增加，会引起系统响应速度加快，稳态误差减少，超调量增加。当$K_p$过大时，会使闭环系统不稳定。
积分环节：相当于增加系统积分环节个数，主要作用是消除系统的稳态误差。积分环节作用的强弱取决于积分时间常数$T_i，T_i$增大，系统超调量变小，响应速度变慢；
微分环节：主要作用是提高系统的响应速度，同时减少系统超调量，抵消系统惯性环节的相位滞后不良作用，使系统稳定性明显改善。$T_d$偏大或偏小，都会使超调量增大，调整时间加长。由于该环节所产生的控制量与信号变化速率有关，故对于信号无变化或变化缓慢的系统微分环节不起作用。

设计参数

感应电动势系数$K_e=0.01$
电磁转矩系数$K_t=0.01$
电枢电感$L_a=0.5H$
电枢电阻$R=1\Omega$
等效到电机控制轴上的转动惯量$J=0.01kg\cdot m^2$
等效到电机控制轴上的阻尼系数$J=0.1$

设计步骤

方法一：
搭建simulink模块，利用经验调节法整定PID参数，使整个系统满足调节时间小于2秒，超调小于5%，稳态误差小于1%

1、设定$K_p=1，K_i=0，K_d=0$得到原系统的响应曲线如下：

2、设定$K_p=80，K_i=0，K_d=0$,得到的响应曲线的超调量为7.25%，稳态误差为11%，没能达到所要求的性能指标，继续进行积分环节的调整。

3、设定$K_p=80，K_i=60，K_d=0$得到的响应曲线的调节时间为0.686s，超调量为14.4%，稳态误差为0.7%，调节时间和稳态误差达到性能指标，最后调节微分环节， 使超调量达到要求。

4、设定$K_p=80，K_i=60，K_d=2$得到响应曲线的调节时间为0.21s，超调量为 4.4%，稳态误差为0.4%，所有性能指标都达到要求。

方法二：
设系统状态$X=[\Omega,i]^T$，并建立以输入电压$U_a$为输入，转速$\Omega$为输出的系统状态空间表达式为:

$$\dot x=Ax+Bu\\ y=cx$$

$$X= \begin {bmatrix} \Omega\\ i \end {bmatrix} ，Y=\Omega$$

$$A= \begin {bmatrix} -\frac {b}{J} & -\frac {K}{J} \\ -\frac {K}{L} & -\frac {R}{L}\\ \end {bmatrix}, B= \begin {bmatrix} 0 \\ \frac {1}{L}\\ \end {bmatrix}, C=\begin {bmatrix} 1& 0 \\ \end {bmatrix}$$

由阶跃响应曲线可见，对系统加电压，马达仅达到的最大转速，且达到这个
速度需要3秒，这些都不满足期望的性能要求。

设计PID控制器校正系统性能

PID整定后响应曲线

根据所得的响应曲线超调量为3.85%调节时间为1.88s,稳态误差接近零。