自抗扰控制器

自抗扰技术（ADRC）

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章节内容：

1. 保留经典PID基本框架而改进其局部功能而得到的“非线性PID控制器”形式。

   （一）安排过渡过程，因此有生成安排的过渡过程的装置
   （二）用跟踪微分器来对被控输出提取微分信号，因此有提取微分信号的装置
   （三）由误差的P、I、D的适当方式的非线性组合来生成控制量的装置。

2. 具有扰动估计、补偿能力的自抗扰控制器形式，它们是由4个部分组成的

   （一）安排过渡过程的装置；
   （二）提取系统状态信息和扰动总和信息的扩张状态观测器装置
   （三）用状态误差信息来产生非线性误差反馈控制量的装置
   （四）依据扰动估计值对系统进行扰动补偿而生成最终控制量的补偿装置

1 非线性PID控制器

经典PID控制器的缺陷

1. 对象被控输出$y$是动态环节的输出，是有一定的惯性的，其变化不可能跳变。系统设定值$v$是外部给定的，可以跳变。用不能跳变的量$y$跟踪可跳变的$v$，导致误差初始值过大，不合理。
2. 用于PID控制器的误差微分信号$\dot e$因为之前没有合适的提取办法和提取装置，经常简单的只使用PI控制器。
3. 经典的PID误差反馈率是误差、误差的微分信号、误差的积分信号的线性组合，这种组合形式不一定最合适，在非线性领域可能有更合适、有效的组合形式。
4. 大量控制工程实践表明，经典PID控制中的误差积分反馈的应用，对抑制常值扰动的作用的确是显著的，然而常常使闭环系统反应迟钝、容易产生振荡和控制量饱和等副作用。

对应的解决措施

1. 根据系统所能够承受的能力、被控量变化的合理性和系统提供控制力的能力，由设定值$v$，安排合适的过渡过程，可以用$\color{red}{跟踪微分器、合适的函数发生器}$来实现。（书中不仅设计给出过渡过程本身、还给出其微分信号）
2. 目前书中已经提到了$\color{red}{跟踪微分器、状态观测器或扩张状态观测器}$来提取误差的微分信号。
3. 在非线性领域寻找更合适的组合形式来形成误差反馈律。
4. 采用$\color{red}{扩张状态观测器}$实时估计出作用于系统的扰动总和并给予补偿的办法代替误差积分反馈作用。这种扰动估计补偿办法不仅能够抑制常值扰动的影响，而且也能够抑制消除几乎任意形式的扰动影响。

非线性PID控制器结构图

$v1:$安排的“过渡过程”
$v2:$安排的“过渡过程”的微分信号
$z_1:$系统输出的跟踪值
$z_2:$系统输出的跟踪值的微分信号

这类控制器是由三个部分结构组合而成：

1. “安排过渡过程”的装置：
2. “提取输出量微分信号”的装置
3. “误差及其微分、积分信号的合理组合”

（一）“安排过渡过程”可以用跟踪微分器，也可以用适当的函数发生器。其中用跟踪微分器可以用线性的或者非线性的，或者不安排过渡过程的。
（二）“提取微分信号”可以用跟踪微分器，也可以用状态观测器或者扩张状态观测器，这些装置可以用线性的，也可以用非线性的。
（三）“误差及其微分、积分信号的合理组合形式”也有线性的或者两种非线性形式等三种不同组合。

跟踪微分器：
1、离散形式的最速跟踪微分器

$$\begin{cases} fh=fhan(v_1-v,v_2,r,h_0)\\ v_1=v_1+hv_2\\ v_2=v_2+hfh\\ \end{cases}$$

2、线性跟踪微分器

$$\begin{cases} fh=-r^2(v_1-v)-2rv_2\\ v_1=v_1+hv_2\\ v_2=v_2+hfh\\ \end{cases}$$

3、状态观测器的形式

$$\begin{cases} e=z_1-y\\ fe=fal(e,\alpha,\delta),0<\alpha<1\\ z_1=z_1+h(z_2-\beta_{01}e)\\ z_2=z_2+h(-\beta_{02}e) \end{cases}$$

4、扩张状态观测器的形式

$$\begin{cases} e=z_1-y\\ fe=fal(e,0.5,h)\\ fe1=fal(e,0.25,h)\\ z_1=z_1+h(z_2-\beta_{01}e)\\ z_2=z_2+h(z_3-\beta_{02}fe+b_0u)\\ z_3=z_3+h(-\beta_{02}e) \end{cases}$$

$\color{red}{引入合理“安排过渡过程”和“微分信号提取”两种手法}$
第一种类型：两个跟踪微分器来实现的“非线性PID”
(1)根据设定值$v$安排合适的过渡过程(采用离散形式的最速跟踪微分器，取$h_0=h$)
$\qquad$参数$r$与设定值幅值$v_0$，达到设定值的过渡过程时间之间的关系：

$$r\frac{1}{2}(\frac{T_0}{2})^2=\frac{v_0}{2}，r=4\frac{v_0}{T_0^2}$$
(2)提取系统输出的微分信号。再把系统的输出$y$送入跟踪微分器(采用离散形式的最速跟踪微分器)
$\qquad$为了更好地提炼输出信号的微分，通常参数$r_1$取得大一些。由于系统输出均含有一定的噪声，因此取适当大的滤波因子$h_1$来加强信号滤波功能是必要的。
(3)产生误差信号：
$e_1$由安排过渡过程输出$v_1$与输出信号跟踪值$z_1$误差产生。
$e_2$由安排过渡过程输出微分信号$v_2$与输出信号微分的跟踪值$z_2$误差产生。
(4)产生误差反馈控制律
$$u=f(e_0,e_1,e_2)$$
$\qquad$这里函数的选择有很大的自由度：线性的，非线性的，光滑的，非光滑的。具体看哪一种形式的效率高，易实现且适合被控对象。

整个算法：

$$\begin{cases} fh_0=fhan(v_1-v_0,v_2,r,h_0)\\ v_1=v_1+hv_2\\ v_2=v_2+hfh_0\\ \\ fh_1=fhan(z_1-y,z_2,r_1,h_1)\\ z_1=z_1+hz_2\\ z_2=z_2+hfh_1\\ e_1=v_1-z_1,e_2=v_2-z_2,e_0=\int_0^t e_1(\tau)d\tau\\ u=\beta_{0}e_0+\beta_1e_1+\beta_2e_2\\ \end{cases}$$

考虑开环稳定对象：

$$\begin{cases} \dot x_1=x_2\\ \dot x_2=asign(sin(t))+u\\ y=x_1\\ \end{cases}$$
$r_0=0.5,r_1=30,h_0=h_1=h,\beta_0=5,\beta_1=8,\beta_2=3$时的实验结果图：

$r_0=0.5,r_1=30,h_0=h_1=h,\beta_0=50,\beta_1=80,\beta_2=30$时的实验结果图：

考虑开环不稳定对象：

$$\begin{cases} \dot x_1=x_2\\ \dot x_2=x_1+x_2+sign(sin(\frac t2))+u\\ y=x_1\\ \end{cases}$$

$r_0=0.5,r_1=30,h_0=h_1=h,\beta_0=50,\beta_1=80,\beta_2=30$

显然在较强的扰动作用下，不稳定对象也能控制的很好，这主要是事先安排合适的过渡过程和合理提取微分信号的结果。
需要注意的是：参数$r_1$如果达不到一定程度，输出的微分信号跟踪不够好，会影响控制效果。

第二种类型：两个线性跟踪微分器来构造的“线性PID”
整体算法：

$$\begin{cases} fh=-r_0(r_0(v_1-v)+\sqrt 3 v_2)\\ v_1=v_1+hv_2\\ v_2=v_2+hfh\\ \\ fh=-r_1(r_1(z_1-v)+\sqrt 3 v_2)\\ z_1=z_1+hz_2\\ z_2=z_2+hfh\\ e_1=v_1-z_1,e_2=v_2-z_2,e_0=\int_0^t e_1(\tau)d\tau\\ u=\beta_0e_0+\beta_1e_1+\beta_2e_2\\ \end{cases}$$
$r_0=2,r_1=100,h_0=h_1=h,\beta_0=30,\beta_1=50,\beta_2=20$
实验结果图：

第三种类型：一个线性跟踪微分器和状态观测器来构造的“线性PID”
整体算法：

$$\begin{cases} fh=-r_0(r_0(v_1-v)+\sqrt 3 v_2)\\ v_1=v_1+hv_2\\ v_2=v_2+hfh\\ \\ e=z_1-y\\ fe=fal(e,\frac{1}{2},\delta)\\ z_1=z_1+h(z_2-\beta_{01}e)\\ z_2=z_2+h(-\beta_{02}fe)\\ e_1=v_1-z_1,e_2=v_2-z_2,e_0=\int_0^t e_1(\tau)d\tau\\ u=\beta_0e_0+\beta_1e_1+\beta_2e_2\\ \end{cases}$$

对非线性对象：

$$\begin{cases} \dot x_1=x_2\\ \dot x_2=x_1^3+x_2^2+sign(sin(\frac 12t))+u\\ y=x_1\\ \end{cases}$$

$r_0=1,\beta_{01}=100,\beta_{02}=300,h_0=h_1=h,\beta_0=30,\beta_1=50,\beta_2=20, v=1.5$
实验结果图：

需要注意的是：观测器中的参数$\beta_{02}$不达到一定程度，输出的微分信号跟不上，会影响控制效果。

第四种类型：函数发生器安排过渡过程和状态观测器来构造的“线性PID”
整体算法：

$$\begin{cases} v_2=\frac 14 sin(\frac \pi T_0 t)(1-sign(t-T_0))\\ v_1=v_1+hv2\\ \\ e=z_1-y\\ fe=fal(e,\frac{1}{2},\delta)\\ z_1=z_1+h(z_2-\beta_{01}e)\\ z_2=z_2+h(-\beta_{02}fe)\\ e_1=v_1-z_1,e_2=v_2-z_2,e_0=\int_0^t e_1(\tau)d\tau\\ u=\beta_0e_0+\beta_1e_1+\beta_2e_2\\ \end{cases}$$

$\color{red}{不同误差组合方式所构成的“非线性PID”}$

$$\begin{cases} (1)u=\beta_0 fal(e_0,\alpha_0,\delta)+\beta_1 fal(e_1,\alpha_1,\delta)+\beta_2 fal(e_2,\alpha_2,\delta)\\ \alpha_0<0<\alpha_1<1<\alpha_2 或者 0<\alpha_0<\alpha_1<1<\alpha_2\\ (2)u=\beta_0e_0-fhan(e_1,e_2,r_1,h_1)\\ (3)u=-fhan(e_1,ce_2,r_2,h_2)\\ \end{cases}$$

其中(1)的组合方式中，参数$\alpha_i,\delta$实现可以确定，如：
$\alpha_0=-0.6,\alpha_1=0.6,\alpha_2=1.2$或者$\alpha_0=0.25,\alpha_1=0.75,\alpha_2=1.5,\alpha_h$或$\delta=kh$

考虑系统：

$$\begin{cases} \dot x_1=x_2\\ \dot x_2=asign(sin(t))+u\\ y=x_1\\ \end{cases}$$
采用第一种非线性组合作为误差反馈律，当取$\alpha_0=\frac 14,\alpha_1=\frac 34,\alpha_2=\frac 32,\delta=2h,h=0.01\\ \beta_0=10,\beta_1=5,\beta_2=100$

实验结果图：

采用第二种非线性组合作为误差反馈律，当取$\beta_0=500,r_2=20,h_2=0.08$
实验结果图：

采用第三种非线性组合作为误差反馈律，当取$c=1,r_2=30,h_2=0.08$
实验结果图：

可以发现，即使在经典PID框架中适当采用非线性组合也是可以不用误差积分反馈的，从而可以避免误差积分反馈的副作用。

2 自抗扰控制器

$\qquad$用扩张状态观测器对扰动进行实时估计与补偿来构造出具有“自抗扰功能”的新型实用控制器。

1. 安排过渡过程，根据设定值$v$安排过渡过程$v_1$并提取其微分信号$v_2$
2. 根据对象的输出和输入信号$y,u$估计出对象的状态$x_1,x_2$和作用于对象的总和扰动$x_3$
3. 状态误差的非线性反馈律。系统的状态误差是指$e_1=v_1-z_1,e_2=v_2-z_2$，误差反馈律是根据误差$e_1,e_2$来决定的控制纯积分器串联型对象的控制规律$u_0$
4. 对误差反馈控制量$u_0$用扰动估计值$z_3$的补偿来决定最终控制量。
   $$u=u_0-\frac {z_3} {b_0}或u=\frac{u_0-z_3}{b_0}$$
   自抗扰控制器：
   
   这里参数$b_0$是决定补偿强弱的“补偿因子”，是可调参数。
   其中误差反馈律考虑以下四种：
   $$\begin{cases} (1)u_0=\beta_1e_1+\beta_2e_2\\ (2)u_0=\beta_1fal(e_1,\alpha_1,\delta)+\beta_2fal(e_2,\alpha_2,\delta),0<\alpha_1<1<\alpha_2\\ (3)u_0=-fhan(e_1,e_2,r,h_1)\\ (4)u_0=-fhan(e_1,ce_2,r,h_1)\\ \end{cases}$$

具有扰动跟踪补偿能力的自抗扰控制器的完整算法为：
(1)以设定值$v_0$为输入，安排过渡过程

$$\begin{cases} e=v_1-v_0\\ fh=fhan(e,v_2,r_0,h)\\ v_1=v_1+hv_2\\ v_2=v_2+hfh\\ \end{cases}$$
(2)以系统输出$y$和输入$u$来跟踪估计系统状态和扰动：
$$\begin{cases} e=z_1-y,fe=fal(e,0.5,\delta),fe_1=fal(e,0.25,\delta)\\ z_1=z_1+h(z_2-\beta_{01}e)\\ z_2=z_2+h(z_3-\beta_{02}fe+b_0u)\\ z_3=z_3+h(-\beta_{03}fe_1) \end{cases}$$
式中,$\beta_{01},\beta_{02},\beta_{03}$为一组参数。
(3)状态误差反馈律
$$\begin{cases} e_1=v_1-z_1,e_2=v_2-z_2\\ u_0=k(e_1,e_2,p) \end{cases}$$
式中,$p$为一组参数。
(4)扰动补偿过程
$$u=u_0-\frac{z_3(t)}{b_0}或u=\frac{u_0-z_3(t)}{b_0}$$

如此，上述自抗扰控制器如下图所示

若我们已知对象的加速度中有已建模的确知部分$f_0(x_1,x_2)$，那么只需要在扩张状态观测器中放入$f_0(z_1,z_2)$。

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