笔记 - Use Isolation Characteristic Points to identify Servo System

项目-CANopen通信时延与多轴运动系统建模

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`A Transfer function identification method of the electrical servo system based on isolation characteristic points

一、原理：

1、实际电液伺服系统传递函数往往包含一些非线性项---机械间隙，磁滞，盲区和非线性控制算法。
2、可以从频率特性曲线上选择特征点，并且通过得到的系统初步传递函数单独调整这些特征点。
3、为了提高系统频率特性曲线和拟合曲线的拟合精度，可以进行迭代。

二、方法：System frequency characteristics identification（系统频率特性辨识）

电液伺服系统是SISO系统，它的传递函数通常可以通过测试频率响应曲线得到

步骤1：输入不同频率的正弦信号，测量稳态输出
步骤2：得到对数频率特性曲线
步骤3：通过不同的辨识算法，辨识伺服系统传递函数

三、文中提及的辨识算法

• 1、绘制伯德图

  绘制伯德图可以看作根据传递函数复原系统频率特性曲线。
  1、根据一些已知的典型环节，可以拟合实验得到的对数幅频特性曲线图，假设系统是最小相位的以求得系统的传递函数。
  2、根据这样求得的系统传递函数可以描绘出系统的相频特性曲线与我们实验测得的相频特性曲线进行对比。
  3、通过修改得到的初步传递函数使得两者（相频特性曲线尽可能重合），获得系统传递函数

• 2、Levy method

  将频率特性拆分为实部$Re(\omega)$与虚部$Im(\omega)$:
  

  $$\begin{bmatrix} V_0 &0 &\cdots &T_1 &S_2 &\cdots\\ 0 &V_2 &\cdots &S_2 &T_3 &\cdots\\ \cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots\\ T_1 &-S_2 &\cdots &U_2 &0 &\cdots\\ S_2 &T_3 &\cdots &0 &U_4 &\cdots\\ \cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \hat {b_0}\\ \hat {b_1}\\ \cdots\\ \hat {a_1}\\ \hat {a_2}\\ \cdots\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} S_0\\ T_1\\ \cdots\\ 0\\ U_2\\ \cdots\\ \end{bmatrix}$$

$$\begin {cases} V_j=\sum_{i=0}^L \omega_i^j\\ S_j=\sum_{i=0}^{L} \omega_i^j Re(\omega_i)\\ T_j=\sum_{i=0}^{L} \omega_i^j Im(\omega_i)\\ U_j=\sum_{i=0}^{L} \omega_i^j [Re(\omega_i)^2+Im(\omega_i)^2] \end {cases}$$
给定系统阶次，通过上述公式可以求得传递函数系数$\hat {b_0}、\hat {b_1}、\cdots、\hat {b_m}$和$\hat {a_0}、\hat {a_1}、\cdots、\hat {a_n}$

• 3、最小二乘
  常用在离线辨识，一次计算：
  $$\hat\theta=(\Phi^T\Phi)^{-1}\Phi^Ty$$
  这里，
  

  $y$：是N维输出向量
  $\theta$：是2n+1维参数向量
  $\Phi$：是$N\times(2n+1)$维测量矩阵

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• 4、isolation character points

由于系统传递函数往往存在非线性项，调节单个系统传递函数的系数可能可以逼近真实曲线，但是因为传递函数的每个系数都是相互关联的，它们会互相影响使得整体曲线都受到影响。
--- isolation character points 改进的辨识方法
定义：
特征点：从系统频率特性曲线上选取，用以比较拟合曲线和测试曲线。常选用“截止频率”，“尖峰频率”，“尖峰增益”，“低频增益”等等。
基于‘隔离特征点’的辨识方法：

1、通过Levy和最小二乘的方法获得最初的传递函数
2、通过对传递函数的复杂调整来分别改变特征点使得拟合曲线和测试曲线的满足误差范围条件，让二者更加逼近。

基于‘隔离特征点’的辨识算法步骤：
1、选择有代表性的特征点（反映了系统特征曲线的变化趋势）
2、通过比较Levy和最小二乘的两种方法确定更好的辨识结果作为初始传递函数
3、设定合理的调整迭代次数，调整所有的特征点一个接一个直到得到最终的正确结果。

---假设，由传递函数系数变化造成的特征点变化量是线性的：

$$c_1=x_1\Delta b_0(1)+x_2\Delta a_3(1)+x_3\Delta a_2(1)+x_4\Delta a_1(1)+x_5\Delta a_0(1)\\ c_2=x_1\Delta b_0(2)+x_2\Delta a_3(2)+x_3\Delta a_2(2)+x_4\Delta a_1(2)+x_5\Delta a_0(2)\\ c_3=x_1\Delta b_0(3)+x_2\Delta a_3(3)+x_3\Delta a_2(3)+x_4\Delta a_1(3)+x_5\Delta a_0(3)\\ c_4=x_1\Delta b_0(4)+x_2\Delta a_3(4)+x_3\Delta a_2(4)+x_4\Delta a_1(4)+x_5\Delta a_0(4)\\ $$
$$\begin{bmatrix} \Delta b_0(1) &\Delta a_3(1) &\Delta a_2(1) &\Delta a_1(1) &\Delta a_0(1)\\ \Delta b_0(2) &\Delta a_3(2) &\Delta a_2(2) &\Delta a_1(2) &\Delta a_0(2)\\ \Delta b_0(3) &\Delta a_3(3) &\Delta a_2(3) &\Delta a_1(3) &\Delta a_0(3)\\ \Delta b_0(4) &\Delta a_3(4) &\Delta a_2(4) &\Delta a_1(4) &\Delta a_0(4)\\ \end{bmatrix}X=C\\ X=(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)^T,C=(c_1,c_2,c_3,c_4)^T$$
---假设只有$c_1\neq 0$
$$\begin{bmatrix} \Delta b_0(1) &\Delta a_3(1) &\Delta a_2(1) &\Delta a_1(1) &\Delta a_0(1)\\ \Delta b_0(2) &\Delta a_3(2) &\Delta a_2(2) &\Delta a_1(2) &\Delta a_0(2)\\ \Delta b_0(3) &\Delta a_3(3) &\Delta a_2(3) &\Delta a_1(3) &\Delta a_0(3)\\ \Delta b_0(4) &\Delta a_3(4) &\Delta a_2(4) &\Delta a_1(4) &\Delta a_0(4)\\ \end{bmatrix}\hat X=\hat C\\ \hat X=(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)^T,\hat C=(c_1,c_2,c_3,c_4)^T$$

---如果有n个特征点

$$\begin{bmatrix} \Delta b_0(1) &\Delta a_3(1) &\Delta a_2(1) &\Delta a_1(1) &\Delta a_0(1)\\ \Delta b_0(2) &\Delta a_3(2) &\Delta a_2(2) &\Delta a_1(2) &\Delta a_0(2)\\ \vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\\ \Delta b_0(n) &\Delta a_3(n) &\Delta a_2(n) &\Delta a_1(n) &\Delta a_0(n)\\ \end{bmatrix}\hat X=\hat C\\ \hat X=(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)^T,\hat C=(c_1,c_2,\cdots,c_4)^T$$