（4轴同步控制）非线性PID仿真结果分析后续1

自抗扰技术（ADRC）

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1.预备

数学模型：

$$\frac{X(s)}{V(s)}=\frac{K}{s(Ts+1)}\\ \\H\ddot x(t)+C\dot x(t)=V(t)$$

同步误差：

$$e_i=x_i^d-x_i$$
$$\begin{cases} \varepsilon_1=2e_1-(e_2+e_n)\\ \varepsilon_2=2e_2-(e_3+e_1)\\ \qquad\vdots\\ \varepsilon_i=2e_i-(e_{i+1}+e_{i-1})\\ \qquad\vdots\\ \varepsilon_n=2e_n-(e_1+e_{n-1})\\ \end{cases} \iff \begin{bmatrix} \varepsilon_1\\ \varepsilon_2\\ \vdots\\ \varepsilon_{n-1}\\ \varepsilon_{n}\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 2 & -1 & 0 &\dots & -1\\ -1 & 2 & -1 &\dots & 0\\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots\\ 0 & \dots & -1 &2 & -1\\ -1 & 0 & \dots &-1 & 2\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} e_1\\ e_2\\ \vdots\\ e_{n-1}\\ e_{n}\\ \end{bmatrix}$$ $$\\ \\ \\ \varepsilon=Te$$

耦合位置误差：

$$E=e+\alpha \varepsilon$$

设计设定点位置同步控制器：

$$V=K_PE+K_D\dot E+(I+\alpha T)^{-1}K_e\dot e$$
$$V=\beta_1fal(E,\alpha_0,\delta)+\beta_2fal(\dot E,\alpha_2,\delta)+(I+\alpha T)^{-1}K_e\dot e$$

2.仿真对比（非线性PID是在系统存在参数摄动的情况下更有优势）

$\qquad$为更真实的模拟实物平台。在实物平台上，我们是能直接获得电机的位置，速度（通过伺服驱动器每个采样周期5ms反馈得到），因此，不存在得不到的微分信号。又考虑仿真时不考虑输出带干扰，采用经典微分器已经可以满足要求。

2.1考虑经典微分器+线性PD+补偿项

——不考虑参数摄动和控制输入干扰

——考虑控制输入干扰
(a)随机信号干扰

%% 在采样点30~80，也就是实验进行0.15~0.4s时控制输入遇到随机信号干扰
if(k<80&&k>=30)
    U=U+unifrnd(-300,300,4,1);
end

(b)恒值偏置干扰

%% 在采样点30~80，也就是实验进行0.15~0.4s时控制输入遇到恒值偏置干扰
if(k<80&&k>=30)
    U=U+300;
end

——考虑参数摄动
(a)H摄动

%% 在采样点30~80，也就是实验进行0.15~0.4s时系统因负载扰动等问题发生参数摄动
%% H摄动
if(k<=80&&k>=30)
    n1=diag(unifrnd(-1,1,1,4));
    HH=abs(H+n1);
else
    HH=H;
end

(b)C摄动

%% 在采样点30~80，也就是实验进行0.15~0.4s时系统因负载扰动等问题发生参数摄动
%% C摄动
if(k<=80&&k>=30)
    n2=diag(unifrnd(-20,20,1,4));
    CC=abs(C+n2);
else
    CC=C;
end

(c)H、C摄动

%% 在采样点30~80，也就是实验进行0.15~0.4s时系统因负载扰动等问题发生参数摄动
%% H、C摄动
if(k<=80&&k>=30)
    n1=diag(unifrnd(-1,1,1,4));
    n2=diag(unifrnd(-20,20,1,4));
    HH=abs(H+n1);
    CC=abs(C+n2);
else
    HH=H;
    CC=C;
end

2.2考虑经典微分器+非线性PD+补偿项

$$(1)u=\beta_1fal(E,\alpha_1,\delta)+\beta_2fal(\dot E,\alpha_2,\delta)+(I/N)K_e\dot e$$

Beta1=70*eye(4);
Beta2=2*eye(4);
KE=10*eye(4);
alpha1=0.6;alpha2=1.2;delta=h;
U=Beta1*fal(E1(:,k),alpha1,delta)+Beta2*fal(E2(:,k),alpha2,delta)+(I/N)*KE*e2(:,k);

——不考虑参数摄动和控制输入干扰

——考虑控制输入干扰
(a)随机信号干扰

(b)恒值偏置干扰

——考虑参数摄动
(a)H摄动

(b)C摄动

(c)H、C摄动

2.3上述小结

位置同步控制
- 1.在不考虑参数摄动和控制输入干扰的情况下，线性PD和非线性PD+补偿项的控制效果相当。且线性PD的最大同步误差较小，虽然可以看出非线性PD的响应时间稍快，但这跟我配置的D项系数（非线性PD偏小）有关。
- 2.仅考虑随机信号造成某一段控制输入干扰时，线性PD和非线性PD+补偿项的控制效果相当。且非线性PD的最大同步误差稍小。
- 3.仅考虑恒值偏置信号造成某一段控制输入干扰时，线性PD和非线性PD+补偿项的控制效果相当。且线性PD的最大同步误差较小，但非线性PD控制没有产生超调现象。
- 4.仅考虑H参数或C参数单个摄动时，线性PD和非线性PD+补偿项的控制效果出现差异。显然非线性PD控制效果比线性PD控制效果好，同步误差响应图中的暂态性能明显较好。
- 5.若考虑系统两个重要参数同时大幅度摄动，线性PD和非线性PD+补偿项的控制效果均有可能造成系统失控。无法比较，还需实物实验中发现。

2.4考虑另一种非线性组合

$$V=-fhan(e_1,e_2,r_1,h_1)$$

r1=100;h1=50*h;
U=-ffhan(E1(:,k),1*E2(:,k),rn,hn)+(I/N)*KE*e2(:,k);

——不考虑参数摄动和控制输入干扰

——考虑控制输入干扰
(a)随机信号干扰

(b)恒值偏置干扰

——考虑参数摄动
(a)H摄动

(b)C摄动

(c)H、C摄动

小结：
$\qquad$换了另一种非线性PID组合，仍然可以发现，非线性PID组合对参数摄动的系统有较好的控制效果，对控制输入受干扰的情况能做到与线性PD相同的响应，但是这节里的非线性PID组合并不是最好的，可以发现他的响应时间太久了，快速性不够好。

3 仿真对比（耦合位置误差使用得到的同步效果好）

3.1 线性PD+补偿

——不考虑参数摄动和控制输入干扰

——考虑控制输入干扰
(a)随机信号干扰

(b)恒值偏置干扰

——考虑参数摄动
(a)H摄动

(b)C摄动

(c)H、C摄动

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