自抗扰技术（ADRC）

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总结

1.目标设定

定点位置（10mm）四轴同步控制，要求如下：
1.超调量小于10%，调节时间为0.5s以内。
2.当控制量发生脉冲扰动时，系统输出能很快恢复到设定值。

2.线性PD同步控制器的设计与分析

2.1单轴定点位置跟踪控制器

2.1.1控制器参数整定与分析

伺服系统模型(输入输出模型)：

$$G_s(s)=\frac{K}{s(Ts+1)}$$
则，伺服系统的状态空间模型可表示为：
$$\begin{cases} \dot x_1=x_2\\ T\dot x_2=-x_2+Ku\\ y=x_1\\ \end{cases}$$
线性PD反馈控制率：
$$u=K_p(v-y)+K_d(0-\dot y)$$
代入上述状态空间模型，得系统的的闭环传递函数：
$$G_c(s)=\frac{KK_p}{Ts^2+(KK_d+1)s+KK_p}\\ G_c(j\omega)=\frac{KK_p}{(KK_p-T\omega^2)+j(KK_d+1)\omega}$$
设此闭环系统的带宽为$\omega_c$。
将其标准化：
$$G=\frac{\omega_c^2}{(s+\omega_c)^2}\iff\begin{cases} \omega_c^2=\frac{KK_p}{T}\\\\ 2\omega_c=\frac{KK_d+1}{T}\\ \end{cases}$$
$$K_p=\frac{w_c^2}{K/T}\quad,\quad K_d=\frac{2\omega_c-1/T}{K/T}$$
因为$K,T$是伺服系统的参数，这里是已知的。
分析该系统对单位阶跃信号的响应为：
$$Y(s)=\frac{\omega_c^2}{(s+\omega_c)^2}\frac{1}{s}=\frac{1}{s}-\frac{1}{s+\omega_c}-\frac{\omega_c}{(s+\omega_c)^2}$$
对上式反拉式变换，可得：
$$y(t)=1-(1+\omega_ct)e^{-\omega_ct}$$
可以看出，$y(t)$单调上升无超调，而调节时间$t_s$主要受到参数$\omega_c$的影响。
$$|y(t_s)-y(\infty)|=(1+\omega_ct_s)e^{-\omega_ct_s}\leq\Delta\%$$
求解超越方程可以求得调节时间$t_s$:
$$(1+\omega_ct_s)e^{-\omega_ct_s}=\Delta\%$$
$$\begin{cases} t_s=\frac{4.74}{\omega_c},\quad\Delta=5\\\\ t_s=\frac{5.83}{\omega_c},\quad\Delta=2\\ \end{cases}$$
选择$\Delta=2$并保留一定的裕量，实际取：
$$t_s=\frac {8\tilde{}10}{\omega_c}$$
根据目标要求，考虑系统抗噪能力，取$\omega_c=20$。

2.1.2 仿真效果

目标：伺服电机对幅值为10mm的阶跃信号进行跟踪，阶跃时刻为1s
要求：
1.伺服系统的阶跃信号响应超调量控制在10%以下。
2.伺服系统的阶跃信号响应调节时间控制在0.5s以内，取$\Delta=2\%$

一：

轴	调节时间	最大控制量	带宽
A	1.3850s	9.086541e+02	20.0 rad/s
B	1.3500s	1.123596e+03	20.0 rad/s
C	1.3350s	1.680672e+03	20.0 rad/s
D	1.3250s	2.072539e+03	20.0 rad/s

分析上述图表：

• 1.各轴伺服控制系统虽然结构相似，但是在模型上仍有些许不同（当然辨识得到的模型中亦能发现），在安排四轴的系统带宽时应具体考虑到其实际特性安排不同的带宽（在预先求得的带宽值附近调整），为后续同步工作奠基。
• 2.在使用计算得到的带宽$w_c$基础上，各轴的控制性能均能满足目标要求。
• 3.线性PD控制出现最显著的一个缺点就是初始控制量较大，像第四轴已经超过了2000r/min的控制量，需要对其限幅，防止控制量的突变过大、过快造成对执行器的损坏。

二：

轴	调节时间	最大控制量	带宽
A	1.465000e+00s	7.289562e+02	17.3 rad/s
B	1.465000e+00s	7.191011e+02	16.0 rad/s
C	1.465000e+00s	9.707563e+02	15.2 rad/s
D	1.465000e+00s	1.119637e+03	14.7 rad/s

分析上述图表：

• 1.合理调整系统带宽可以使得各轴调节时间更加接近，且输出控制量更加合适。

2.2多（四）轴定点位置跟踪同步控制器

2.2.1 引入同步误差方式

1.SunDong - 相邻两轴

$$e_i=x_i^d-x_i$$
$$\begin{cases} \varepsilon_1=2e_1-(e_2+e_n)\\ \varepsilon_2=2e_2-(e_3+e_1)\\ \qquad\vdots\\ \varepsilon_i=2e_i-(e_{i+1}+e_{i-1})\\ \qquad\vdots\\ \varepsilon_n=2e_n-(e_1+e_{n-1})\\ \end{cases} \iff \begin{bmatrix} \varepsilon_1\\ \varepsilon_2\\ \vdots\\ \varepsilon_{n-1}\\ \varepsilon_{n}\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 2 & -1 & 0 &\dots & -1\\ -1 & 2 & -1 &\dots & 0\\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots\\ 0 & \dots & -1 &2 & -1\\ -1 & 0 & \dots &-1 & 2\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} e_1\\ e_2\\ \vdots\\ e_{n-1}\\ e_{n}\\ \end{bmatrix}$$ $$\\ \\ \\ \varepsilon=Te$$
2.许雄 - 其前面所有节点（轴）消息的一个子集
$$\begin{cases} \varepsilon_1=e_1-e_1\\ \varepsilon_2=e_2-e_1\\ \qquad\vdots\\ \varepsilon_n=e_n-\frac 1{n-1}\sum_{i=1}^{n-1}e_i\\ \end{cases} \iff \begin{bmatrix} \varepsilon_1\\ \varepsilon_2\\ \vdots\\ \varepsilon_{n-1}\\ \varepsilon_{n}\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 &\dots & 0\\ -1 & 1 & 0 &\dots & 0\\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots\\ -\frac 1{n-2} & \dots & -\frac 1{n-2} &1 & 0\\ -\frac 1{n-1} & -\frac 1{n-1} & \dots &-\frac 1{n-1} & 1\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} e_1\\ e_2\\ \vdots\\ e_{n-1}\\ e_{n}\\ \end{bmatrix}$$

2.2.2线性PD同步控制器-仿真效果

目标：
1.四轴伺服电机对幅值为10mm的阶跃信号进行同步跟踪，阶跃时刻为1s。
2.四轴伺服电机对幅值为10mm的阶跃信号进行同步跟踪，阶跃时刻为1s，在3s时，控制输入端加入幅值为1mm，持续1s的脉冲扰动。
要求：
1.四个伺服系统的阶跃信号响应超调量控制在10%以下。
2.四个伺服系统的阶跃信号响应调节时间控制在0.5s以内，取$\Delta=2\%$
3.四轴同步时间在1s以内。
4.当出现脉冲扰动时，系统输出能够很快恢复到设定值。

1-1.SunDong - 相邻两轴 - 控制输入端无扰动

1-2.SunDong - 相邻两轴 - 控制输入端持续1s，1mm扰动

2-1.许雄 - 其前面所有节点（轴）消息的一个子集 - 控制输入端无扰动




2-2.许雄 - 其前面所有节点（轴）消息的一个子集 - 控制输入端持续1s，1mm扰动

分析上述图表：
1.在保证单轴跟踪性能良好的情况下，两种定义同步误差的方式均能实现多轴高精度同步控制。
2.可以发现，即使在稳态时受到持续脉冲输入扰动的影响，两类控制器均能保证系统输出较快恢复到设定点，抗扰动能力相当（且较好）。
3.观察两者的同步误差图，可以发现“按许雄定义的同步误差”要明显小于“按孙东定义的同步误差”。但是两者的控制效果并没有提升。

2.2.3线性PD+补偿项（SunDong）同步控制器-仿真效果

轴	调节时间	最大控制量	带宽	KE
A	1.590000e+00s	6.758011e+02	17.3 rad/s	2
B	1.590000e+00s	7.191011e+02	16.0 rad/s	2
C	1.580000e+00s	9.707563e+02	15.2 rad/s	2
D	1.580000e+00s	1.119637e+03	14.7 rad/s	2

1-1.SunDong - 相邻两轴 - 控制输入端无扰动




1-2.SunDong - 相邻两轴 - 控制输入端持续1s，1mm扰动

2-1.许雄 - 其前面所有节点（轴）消息的一个子集 - 控制输入端无扰动

2-2.许雄 - 其前面所有节点（轴）消息的一个子集 - 控制输入端持续1s，1mm扰动

观察上述图表，分析：
1.加入SunDong补偿项$(I+aT)^{-1}K_E\dot e$之后，同步误差的确有所影响，根据多次试验发现，随着$K_E$值得增加，系统同步误差的变化由大变小后变大，因此最终选定$K_E=2$（合适）。
2.加入SunDong补偿项$(I+aT)^{-1}K_E\dot e$之后，系统的调节时间变长了。

3.非线性PD（ADRC）同步控制器的设计与分析

3.1单轴定点位置跟踪控制器

3.1.1控制器参数整定与分析

伺服系统模型(输入输出模型)：

$$G_s(s)=\frac{K}{s(Ts+1)}$$
则，伺服系统的状态空间模型可表示为（考虑模型得不确定性和外界干扰）：
$$\begin{cases} \dot x_1=x_2\\ \dot x_2=-\frac 1Tx_2+\frac KTu+f_1(x_1,x_2)+w\\ y=x_1\\ \end{cases}$$
这里，$f_1(x_1,x_2)$表示系统模型得不确定性，$w$表示外界干扰。
取扩张状态变量，系统被扩张总和扰动为：$x_3=f(x_1,x_2)+(\frac{K}{T}-b_0)u+w$
则，伺服系统的扩张状态空间模型可表示为：
$$\begin{cases} f_0(x_1,x_2)=-\frac 1Tx_2,\\\\ f(x_1,x_2)=f_0(x_1,x_2)+f_1(x_1,x_2)\\\\ x_3=f(x_1,x_2)+(\frac{K}{T}-b_0)u+w\\\\ \dot x_3=a\\ \end{cases}\to \begin{cases} \dot x_1=x_2\\ \dot x_2=x_3+b_0u\\ \dot x_3=a\\ y=x_1\\ \end{cases}$$

因伺服系统是二阶对象，对应需采用二阶线性扩张状态观测器和线性PD反馈控制率，控制算法：
LESO

$$\begin{cases} e=z_1-y\\ \dot z_1=z_2-\beta_1e\\ \dot z_2=z_3-\beta_2e+b_0u\\ \dot z_3=-\beta_3e \end{cases}$$

式中：$e$表示观测器误差，$z_1,z_2$和$z_3$是系统状态变量及广义扰动的观测值，$\beta_1，\beta_2$和$\beta_3$表示LESO的增益系数。
线性PD反馈控制率及扰动补偿环节

$$\begin{cases} u_0=K_p(v-z_1)-K_dz_2\\\\ u=\frac{u_0-z_3}{b_0}\\ \end{cases}$$
取带宽整定方法：
$$\begin{cases} \beta_1=3\omega_0,\beta_2=3\omega_0^2,\beta_3=\omega_0^3\\\\ K_p=\omega_c^2,K_d=2\omega_c\\ \end{cases}$$

LESO能实现系统状态变量和广义扰动的误差估计且收敛速度块，因此可忽略$z_3$对$x_3$的估计误差，原系统可以化简为一个双积分串联结构：

$$\ddot y=u_0$$
$$G_c(s)=\frac{\omega_c^2}{(s+\omega_c)^2}$$
对单位阶跃信号的响应为：
$$Y(s)=\frac{\omega_c^2}{(s+\omega_c)^2}\frac{1}{s}=\frac{1}{s}-\frac{1}{s+\omega_c}-\frac{\omega_c}{(s+\omega_c)^2}$$
$$y(t)=1-(1+\omega_ct)e^{-\omega_ct}$$
因此，$y(t)$单调上升无超调，而调节时间$t_s$主要受参数$w_c$的影响，因此PD控制器带宽的整定为选择合适$w_c$，使系统获得满意的调节时间。
但是，需要考虑$LESO$收敛过程中的超调，LESO对状态变量和广义扰动的跟踪过程中存在超调。（线性观测器的本质特征）。而适当增大$\omega_0$可以增大系统相角裕度，减少超调，因此整定$\omega_c$时，不考虑超调量。
求解超越方程可以求得调节时间$t_s$:
$$(1+\omega_ct_s)e^{-\omega_ct_s}=\Delta\%$$
$$\begin{cases} t_s=\frac{4.74}{\omega_c},\quad\Delta=5\\\\ t_s=\frac{5.83}{\omega_c},\quad\Delta=2\\ \end{cases}$$
选择$\Delta=2$并保留一定的裕量，实际取：
$$t_s=\frac {8\tilde{}10}{\omega_c}$$
根据目标要求，考虑系统抗噪能力，取$\omega_c=20$。

3.1.2仿真效果

目标：伺服电机对幅值为10mm的阶跃信号进行跟踪，阶跃时刻为1s
要求：
1.伺服系统的阶跃信号响应超调量控制在10%以下。
2.伺服系统的阶跃信号响应调节时间控制在0.5s以内，取$\Delta=2\%$

考虑到实际控制量的大小，这里取$\omega_c$与线性PD同步控制器相同为14.7rad/s

轴	上升时间	调节时间	最大控制量	带宽
A	1.305000e+00s	1.650000e+00s	5.792402e+02	14.6 rad/s
B	1.305000e+00s	1.650000e+00s	6.069944e+02	14.7 rad/s
C	1.305000e+00s	1.650000e+00s	9.079412e+02	14.7 rad/s
D	1.305000e+00s	1.650000e+00s	1.134922e+03	14.8 rad/s

分析上述图表：

• 1.加入LADRC之后，由于LADRC收敛过程的超调，导致系统的超调，系统的上升时间较快，但是调节时间变长。
• 2.与线性PD控制相比，ADRC控制的参数整定显得较为方便，控制器带宽选择可以由计算所得，只需要要调节各轴观测器带宽大小安排各轴动态性能相近。
• 3.只用LADRC还存在一个缺陷，可以发现系统的输出控制量虽然是线性的$\frac{1}{b_0}$，系统初始误差较大，而设置$b_0$较小时，同样会有较大的输出控制量。

3.2 多（四）轴定点位置跟踪同步控制器

3.2.1ADRC同步控制器-仿真效果

目标：
1.四轴伺服电机对幅值为10mm的阶跃信号进行同步跟踪，阶跃时刻为1s。
2.四轴伺服电机对幅值为10mm的阶跃信号进行同步跟踪，阶跃时刻为1s，在3s时，控制输入端加入幅值为1mm，持续1s的脉冲扰动。
要求：
1.四个伺服系统的阶跃信号响应超调量控制在10%以下。
2.四个伺服系统的阶跃信号响应调节时间控制在0.5s以内，取$\Delta=2\%$
3.四轴同步时间在1s以内。
4.当出现脉冲扰动时，系统输出能够很快恢复到设定值。

同样以“SunDong-相邻两轴”与“许雄-取前面所有轴消息的一个子集”作对比
1-1SunDong-控制输入端无扰动




1-2SunDong-控制输入端持续1s,1mm扰动




2.许雄 - 其前面所有节点（轴）消息的一个子集 - 控制输入端无扰动

2.许雄 - 其前面所有节点（轴）消息的一个子集 - 控制输入端持续1s，1mm扰动

分析上述图表：
1.在保证单轴跟踪性能良好的情况下，两种定义同步误差的方式均能实现多轴高精度同步控制。
2.可以发现，即使在稳态时受到持续脉冲输入扰动的影响，两类控制器均能保证系统输出较快恢复到设定点，抗扰动能力相当（且较好）。
3.观察两者的同步误差图，可以发现“按许雄定义的同步误差”要明显小于“按孙东定义的同步误差”。但是两者的控制效果并没有提升。
以上为与线性PD控制共同点，不同点如下：
1.虽然采用线性PD控制下系统的阶跃响应调节时间稍短，但是LADRC控制下系统的上升时间快，且调节时间也与线性PD控制相差不多。
2.可以发现，LADRC控制下系统的同步误差不管是哪一种定义都比线性PD控制下系统的同步误差要小，控制效果得到了明显的提升。
3.在抗扰动能力上，可以看出LADRC控制下系统的抗扰干能力好，体现在同步误差受扰动影响更小。

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