自抗扰技术（ADRC）

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• 耦合位置误差加权方法改进
• 添加扩张状态观测器补偿系统存在的干扰
• 尝试提高非线性控制下系统的快速性

（4轴同步控制）3种改进方法实验

1 耦合位置误差加权方法的改进

1.1 改进后的稳定性分析

试采用位置误差与同步误差的凸组合代替原来的非凸组合

$$E=(1-\alpha)e+\alpha \varepsilon$$

证明过程：

$$\color{red}{令}:\quad\tau=K_PE+K_D\dot E +((1-\alpha)I+\alpha T)^{-1}K_e\dot e\\ \color{red}{取能量函数}:\quad V=\frac 12(\dot e^T(1-\alpha)H(x)\dot e+\alpha \dot e^TTH(x)\dot e)+\frac 12 E^TK_PE$$
当控制增益$\alpha$取得足够小，$e^T(1-\alpha)H(x)\dot e+\alpha \dot e^TTH(x)\dot e\geq 0$，此时上式正定。

$$\color{red}{对能量函数V求导}:\quad \dot V=\dot e^T[(1-\alpha)I+\alpha T]H(x)\ddot e+\frac 12\dot e^T[(1-\alpha)I+\alpha T]\dot H(x)\dot e+E^TK_P\dot E$$

$$\because H(x)\ddot x +c(x,\dot x)\dot x=\tau=K_PE+K_D\dot E+((1-\alpha)I+\alpha T)^{-1}K_e\dot e\\ 两边同乘\dot E^T：\dot E^TH(x)\ddot x +\dot E^Tc(x,\dot x)\dot x=\dot E^TK_PE+\dot E^TK_D\dot E+\dot E^T((1-\alpha)I+\alpha T)^{-1}K_e\dot e\\ 又\because \begin{cases} \ddot e=-\ddot x\\E=((1-\alpha)I+\alpha T)e\end{cases}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\\ \therefore -\dot e^T[(1-\alpha)I+\alpha T]H(x)\ddot e-\dot e^T[(1-\alpha)I+\alpha T]c(x,\dot x)\dot e=\dot E^TK_PE+\dot E^TK_D\dot E+\dot e^T K_e \dot e$$

$$\color{red}{则}:\dot V=-\dot e^T[(1-\alpha)I+\alpha T]c(x,\dot x)\dot e+\frac 12\dot e^T[(1-\alpha)I+\alpha T]\dot H(x)\dot e-\dot E^TK_D\dot E-\dot e^T K_e \dot e\\ =\dot e^T[(1-\alpha)I+\alpha T](\frac 12 \dot H(x)-c(x,\dot x))\dot e -\dot E^TK_D\dot E-\dot e^TK_e\dot e\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\\ =-\dot E^TK_D\dot E-\dot e^T(K_e-\alpha(T-I)(\frac 12 \dot H(x)-c(x,\dot x))\dot e\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\\ \leq -\dot E^TK_D\dot E-\dot e^T(\lambda_{min}\{K_e\}-||\alpha(T-I)(\frac 12 \dot H(x)-c(x,\dot x))||)\dot e\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$$

论文中提及，根据$Lipschitz$条件：

$$||\alpha T(\frac 12\dot H(x)-C(x,\dot x))||\leq c_1||x||+c_2||\dot x||\\ \because ||\alpha(T-I)||\leq||\alpha T||\\ \therefore||\alpha(T-I)(\frac 12\dot H(x)-C(x,\dot x))||\leq c_1||x||+c_2||\dot x||$$

$$\dot V\leq -\dot E^TK_D\dot E-\dot e^T(\lambda_{min}\{K_e\}-c_1||x||+c_2||\dot x||)\dot e\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \\ \color{red}{需要满足条件}:\lambda_{min}\{K_e\}=C_1||x||+C_2||\dot x||\geq c_1||x||+c_2||\dot x||\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$$

1.2 改进后与之前的区别

1.任意组合

$$E=\alpha e+\beta \varepsilon$$
2.凸组合 $$E=(1-\alpha)e+\alpha \varepsilon$$
3.非凸组合 $$E=e+\alpha \varepsilon$$

$$T= \begin{bmatrix} 2& -1& 0& -1\\ -1& 2& -1& 0\\ 0& -1& 2& -1\\ -1& 0& -1& 2\\ \end{bmatrix}$$

线性情况下
1.任意组合

$$E=(\alpha I+ \beta T)e\\ E=\begin{bmatrix} a + 2*b& -b& 0& -b\\ -b& a + 2*b& -b& 0\\ 0& -b& a + 2*b& -b\\ -b& 0& -b& a + 2*b\\ \end{bmatrix}e$$

2.凸组合

$$E=((1-\alpha)I+\alpha T)e\\ E=\begin{bmatrix} a + 1& -a& 0& -a\\ -a& a + 1& -a& 0\\ 0& -a& a + 1& -a\\ -a& 0& -a& a + 1\\ \end{bmatrix}e$$

3.非凸组合

$$E=(I+\alpha T)e\\ E=\begin{bmatrix} 2*a + 1& -a& 0& -a\\ -a& 2*a + 1& -a& 0\\ 0& -a& 2*a + 1& -a\\ -a& 0& -a& 2*a + 1\\ \end{bmatrix}e$$

假设3参数保证稳定的情况下，2只需要将参数同乘以$\frac{1}{1-a}$，1只需要将参数同乘以$\frac{1}{a}$，效果应相同。

1.3 实验效果

2 添加扩张状态观测器补偿系统扰动实验

2.1 ESO分析与具体算法

数学模型：

$$\frac{X(s)}{V(s)}=\frac{K}{s(Ts+1)}\\ \\H\ddot x(t)+C\dot x(t)=V(t)$$

同步误差：

$$\varepsilon=Te$$

耦合位置误差：

$$\begin{cases} E=e+\alpha \varepsilon \qquad\quad\qquad,1\\ E=(1-\alpha)e+\alpha\varepsilon\qquad,2\\ \end{cases}$$

ADRC具体算法

$$\begin{cases} \color{red}{过渡过程安排-线性:}\\ v_1=v_1+hv_2\\ v_2=v_2+h(-r^2(v_1-Ref)-2rv_2)\\ \color{red}{过渡过程安排-非线性:}\\ fh=fhan(v_1-Ref,v_2,r_0,h)\\ v_1=v_1+hv_2\\ v_2=v_2+hfh\\ \\ e=z_1-y,fe=fal(e,0.5,\delta),fe_1=fal(e,0.25,\delta)\\ \color{red}{扩张状态观测器-线性:}\\ z_1=z_1+h(z_2-3w_0e)\\ z_2=z_2+h(z_3-3w_0^2e+b_0u)\\ z_3=z_3+h(-w_0^3e)\\ \color{red}{扩张状态观测器-非线性:}\\ z_1=z_1+h(z_2-\beta_{01}e)\\ z_2=z_2+h(z_3-\beta_{02}fe+b_0u)\\ z_3=z_3+h(-\beta_{03}fe_1)\\ \\ e_1=v_1-z_1,e_2=v_2-z_2\\ \color{red}{线性控制律:}\\ V=K_PE+K_D\dot E+(I+\alpha T)^{-1}K_e\dot e\\ V=K_PE+K_D\dot E+((1-\alpha)I+\alpha T)^{-1}K_e\dot e\\ \color{red}{非线性控制律:}\\ V=Beta_{1}fal(E,\alpha_1,\delta)+Beta_{2}fal(\dot E,\alpha_2,\delta)\\ \\ u_0=f(e_1,e_2,p),u=u_0-\frac{z_3}{b_0}\\ \end{cases}$$

2.2实验结果

软件仿真

Precise position synchronous control of multi-axis servo system

Controller

Disturbance

安排过渡过程（非线性）

四轴位置输出

四轴同步误差

非线性输出项-P

非线性输出项-D

观测总扰动

非线性总输出

总输出量
实物数据分析