@wuqi0616 2017-07-18T12:51:45.000000Z 字数 15380 阅读 1074

实时以太网下的多轴运动控制概念补充

三轴运动平台

实时以太网下的多轴运动控制概念补充
二、论文不甚理解之处

1.1网络运动控制系统的关键技术

此处输入图片的描述

建模与稳定性分析
网络诱导延迟补偿
网络丢包补偿：如果采用光纤作为传输媒介的实时以太网，基本上是可以消除丢包现象
网络带宽分配与调度
网络安全技术
多轴运动同步控制
网络技术

多轴同步问题解耦为时钟同步和运动同步两个层面

传统以太网与实时以太网的区别：
在“一网到底”和“高速高精度运动控制”的要求下，工业控制系统已经不满足于传统高成本、低通信速率且互不兼容的传统现场总线，越来越多的工业控制系统的制造商提倡将以太网应用于工业控制的现场设备层。

然而传统以太网具有以下几点不利于控制系统的特点：
1、传统以太网采用冲突检测载波监听多点访问（CSMA/CD）机制来解决通讯介质层的接入。这种随机竞争接入机制导致了非确定性的产生，因此不具备实时性，同时其也会导致系统的控制性能下降，引起系统失稳。
2、以太网没有时钟同步机制，无法实现工业控制系统中多个分步轴之间的运动同步。

1.2网络运动控制系统仿真平台

目前应用较为广泛的网络仿真工具包有：

OMNeT++ 基于离散事件的开源多协议网络仿真工具，主要用于通信网络和分布式系统的仿真。
NS-2 面向对象的网络仿真器，本质也是开源的离散事件模拟器，能够模拟和测评现有网络协议或者实现新协议的开发和研究。
TureTime 由瑞典Lund工学院Anton Cervin 等人开发，能够方便与Matlab/Simulink软件包中的其它控制模块相结合，快速搭建网络运动控制系统。

1.3网络运动控制系统实验平台

虽然国内外对网络运动控制系统研究已经开始重视，也已经在此领域有了不少的成果，但是目前已有的实验平台主要有以下特点：
1、基于远程操作，一般都是控制器在网络的一端，被控对象（比如直流电机）在网络的另一端，它们的物理位置比较远，大多采用因特网连接，因此有很大的网络延迟和存在丢包现象；并且都为点对点互连的实验平台，即基于网络环境下的单个控制闭环。
2、基于现场总线或者某种实时以太网通信协议，平台具备实时性并且都可以实现多轴实验，但平台缺乏普适性或者一般性，研究不同的实时网络，就得重新再开发实验平台，增加时间成本和开发成本。

1.4时钟同步方法

常见的网络同步协议有：

网络时间协议NTP（Network Time Protocol），NTP是用于互联网中时间同步的标准互联网协议，其用途是把计算机的时间同步到某些时间标准。目前采用的时间标准是世界协调时UTC（Universal Time Coordinated）。NTP采用应用层同步方法，同步精度不高，一般为10ms~100ms之间，不能满足高速高精度的多轴运动控制系统（采样周期一般为几毫秒）
简单网络时间协议SNTP（Simple Network Time Protocol），简化了NTP的服务器和NTP客户策略，其时间精度是依赖于客户端和服务端网络的情况。但是其采用与NTP相同的时钟同步机制，因此时钟同步精度仍然不高。
IEEE 1588，由安捷伦实验室John Eidson等人开发，是一种较为精准的时钟同步解决方案，其基本功能是使分布式网络内的其它时钟与最精准时钟保持同步，它定义了一种精确时间协议PTP（Precision Time Protocol），用于对标准以太网或其他采用多播技术的分布式总线系统中的传感器、执行器以及其他终端设备中的时钟进行亚微秒级同步。其基本思想是：当节点之间交换信息时，数据包包含了时间戳信息。

时钟同步策略：
网络化运动控制系统中时钟常常采用晶振和计数器构成，而时钟同步可以分为两个不同的层次：
一、两者计数器的数值在校正时刻，保持其相等，即达到相位同步
二、两者计数器的数值在校正时刻，通过频率补偿算法使其相位的增加速度保持相等，即达到频率相同。
在实际实验平台中，同步各个节点时钟还可以采用时间戳技术---为需要的事件产生精确的时间标记，从而可以在线的测量网络诱导延迟或者管理每个数据包的发送时刻，进行相应的延迟补偿或者消息调度。

1.4.1实时以太网控制系统时钟同步三个基本问题：

系统中主控制器抖动问题：实际应用分布式系统主控制器大多为标准PC机或者工控机，采用网卡来实现各现场设备之间的信息交互。在时钟同步过程中，主控制器被选为网络同步主节点，整个系统的时钟同步精度局限于比较低的时间戳精度。即使主控制器采用实时操作系统，时间戳精度也仅仅为微秒级别。
时钟同步算法的分析和设计：如何构建带频率纠正的从时钟，如何建模和设计时钟同步算法来驱动这些分布式的从时钟
级联实时以太网中时钟同步误差的累积问题：虽然IEEE 1588-2008已经引入了透明时钟机制来解决级联网络中时钟同步误差以指数形式累积的问题。但是，针对如何将这种透明时钟机制嵌入到实时通信协议中，还没有具体解决方法。

1.4.2IEEE 1588精确时钟同步协议

IEEE 1588-2008
协议的基本思想：当节点之间交换信息时，数据包内包含了时间戳信息。
对IEEE 1588的大多数研究主要集中在PTP实施和时钟同步算法设计：
（1）根据时间戳获取的位置，将其实施方法分为两类：
1、纯软件的实施
其中开源PTPd[1]是典型的PTP软件实施，其可以从网上下载,并且该类纯软件能够达到的时钟同步精度为10~100微秒。
2、基于硬件的实施
相别与前者的基于硬件的时间戳技术，能够使时间戳的捕获位置尽可能的接近物理层，其时钟同步精度可达到纳秒级别。

此处输入图片的描述
根据精确时间协议，主节点周期性（ $T_{sync}$ 默认为1s）发送同步消息(Sync)。以第k个同步过程为例，主节点测量同步消息的发送时间，记为 $t_{M1}[k]$ 。当从节点收到同步消息Sync时，记录收到此消息的时间 $t_{s1}[k]$ ，同时从主节点发送的跟随消息（FollowUp）中获得同步消息在主节点发送的准确时间 $t_{M1}[k]$ 。假设本次同步过程进行线路时延的测量，则从节点随后发送延迟测量请求消息（DelayReq），发送时间记为 $t_{s2}[k]$ ,然后等待主节点发送延迟测量响应消息（DelayResp），该消息包括主时钟收到延迟测量请求消息时的时间戳信息 $t_{M2}[k]$ 。
设主节点到从节点的线路时延为 $D_{m2s}[k]$ ，同理，从节点到主节点的线路时延为 $D_{s2m}[k]$ ，从节点相对于主节点的时钟偏差记为 $Offset[k]$ 。从节点根据以上四个时间戳信息 $t_{M1}[k]、t_{S1}[k]、t_{S2}[k]、t_{M2}[k]$ ，可以得到：

$t_{S1}[k]-t_{M1}[k]=D_{m2s}[k]+Offset[k]\\ t_{M2}[k]-t_{S2}[k]=D_{s2m}[k]-Offset[k]$

假设线路传输对称，即 $D_{m2s}[k]=D_{s2m}[k]$ ，得：

$D_{m2s}[k]=\frac{D_{m2s}[k]+D_{s2m}[k]}{2}=\frac{(t_{S1}[k]-t_{M1}[k])+(t_{M2}[k]-t_{S2}[k])}{2}\\ Offset[k]=t_{S1}[k]-t_{M1}[k]-D_{m2s}[k]$

利用获取到的主时钟时间或者时钟偏差来实现时钟同步：
1、当获取到新的主时钟时间值时，直接把本地从时钟的时间设置成该值。但是，在很多应用场合（如分布式驱动器或分布式运动控制应用场合），该方法会导致时间突变，不利于实现周期性的控制。
2、为使时间不发生突变并实现时钟偏差消除，可以选择精确温度补偿或者恒温控制的振荡器作为时钟源（成本高）
3、在廉价标准晶体振荡器上使用频率补偿来实现高精度时钟同步。

市场上为实时通信提供时钟同步功能的工业通信解决方案：（成本高，基于专用ASIC芯片，精度小于1微秒，但无法进一步研究和探索）

EtherCAT 类似于IEEE1588，分布式时钟机制：主节点根据从所有从节点手机过来的时间戳信息，来计算传播延迟并且将这些延迟值下发至各个从节点。
Ether/IP 设备采用CIP同步技术规范来实现高性能运动控制所需的时钟同步。
PROFINET IO（PNIO）采用基于精确透明时钟协议（Precision Transparent Clock Protocol，PTCP）的时钟同步技术。为了更为精确的测量消息传播延迟，PTCP引入了透通模式的转发方法，这非常类似于IEEE1588-2008中描述的点对点透明时钟。
Ethernet Powerlink（EPL）：在每个管理节点也应用PTP，以实现不同网络之间的信息交换。

（2）在时钟同步算法设计上，时钟同步策略可分为：
1、非实时网络下的时钟同步策略
2、实时网络下的时钟同步策略

1.5运动同步控制策略

1.5.1无网络环境下的运动同步算法

无网络环境下的几种控制系统，轴与轴之间的负载惯量和干扰的差异性是导致运动同步问题的主要因素。

Koren提出交叉耦合控制器，用于两轴制造系统中的轮廓控制。
改进的运动同步控制算法：
1、基于交叉耦合控制的方法：每个轴都受跟踪控制器和轮廓控制器同时作用，其中跟踪控制器的目的是为了获取满意的跟踪性能，轮廓控制器是为了取得更好的轮廓性能。
关键在于：轮廓误差估计和轮廓控制器设计
轮廓误差定义：从实际位置点到理想轨迹的最短距离
实际轮廓控制解决方案：近似方法来得到轮廓误差估计值，如直线近似、极坐标近似、圆近似以及采用轨迹函数来估计。
特点：每个轴的控制器都是时不变的；轴之间通过轮廓控制器进行耦合；它需要实时的进行轮廓误差估计计算。
2、基于工作坐标系的方法：将跟踪误差变换为工作坐标系下的切向和法向误差，这样控制目标变成了尽量减少切向和法向误差，通过控制切向误差来保证进给性能，以及控制法向误差来保证轮廓性能，最后再通过逆变换就可以得到各个轴的控制量。
特点：不需要轮廓误差估计器，并且控制器的数目等于轴的个数；轴之间是通过人为的坐标变换而耦合的；由于有坐标变换，每个轴的控制器是时变的，因此可能会导致轴出现失稳现象；另外变换是由理想轨迹所决定的，这就导致某些轨迹下的变换会比较复杂。
3、基于位置同步误差的控制：通过对理想轨迹线性化，将多轴运动协调问题转化为实时调节所有轴的位置误差以满足关系式： $c_1e_1=c_2e_2=\cdots=c_ne_n$ ,其中 $c_i$ 指的是轴 $i$ 的耦合参数，而 $e_i$ 为对应轴的位置误差。
设计步骤：
a、定义位置同步误差和耦合位置误差
b、再设计比例微分型同步控制器或引入滑膜控制的设计思想
c、保证系统渐进稳定、即跟踪误差和位置同步误差渐进收敛到零。
特点：针对更为一般的多轴协调控制，比如既适用于CNC系统中的轮廓误差消除问题，又适用于多移动机器人的编队控制问题，该类算法也不需要轮廓误差估计器，控制器的数目也等于轴的个数，轴之间是通过引入耦合位置误差而人为耦合的；当轴的耦合参数为变量时，轴的控制器也相应的为时变的，但能保证系统的渐进稳定性，而且稳定性的证明过程比较系统；同时由于其位置同步误差和耦合位置误差计算时仅需要局部轴的位置误差信息，使得该同步控制算法很容易实现多轴的运动同步控制，而不像前面两类算法局限于两轴协调运动

1.5.2网络环境下单轴控制的延迟补偿

Luck提出时延整形法，将时变时延转换为常值时延
Montestruque提出基于模型的延迟补偿法，这类方法只能补偿传感器和控制器之间的网络诱导延迟
预测控制的思想：
1、Lai和Hsu提出自适应Smith预估器
2、Guoping Liu研究团队提出多种网络化预测控制方法
3、Natori把网络诱导延迟影响看成系统干扰项、设计网络干扰观测器
4、Lee描述如何将模糊逻辑控制应用于网络运动控制系统
Qos增益调度控制

这些方法的共同特点：都是补偿单个闭环内的网络诱导延迟，采用控制器与传感器或/和执行器之间存在网络的控制结构；都是针对大时延的非实时网络；补偿算法一般比较复杂，尤其是加上补偿算法后整个闭环系统的稳定性分析，因此运用到多轴协调控制中会使问题更加棘手；同时这些补偿算法的运算量也较大，可能会影响到采样周期的选取。

1.5.3基于控制网络的运动同步算法

Hsieh 提出一种基于CAN总线的网络运动控制系统的同步架构：采用事件触发和时间触发的混合模式
Ren 实现了一种基于运动控制总线的两轴交叉耦合控制器
Nuno 给出了网络下多轴运动同步控制比较全面的理论研究工作，并提出了一种自适应同步控制器以实现各轴之间位置和速度的同步误差都能渐进的收敛到0。

当前设计的那些控制网络下的运动同步算法一般都没有对网络诱导延迟进行补偿，有的甚至在控制器设计和稳定性分析时都没有考虑网络诱导延迟。

1.5.4实时以太网下的位置同步控制

在实时以太网运动控制系统中，多轴协同运动精度不仅取决于相关运动节点间的时钟同步精度，还与各轴驱动装置和执行机构的静动态特性密切相关，更与实时以太网中的消息调度和网络诱导延迟有关。
通过合适的同步控制算法，同时克服系统中导致不同步的干扰因素和不确定因素：

不同的负载惯量
不同的干扰
实时以太网的消息调度策略
网络诱导时延

论文的思路与实际平台的不同之处：
$\qquad$ 论文中提出目前有一些软CNC系统，在主节点中集成了位置环、速度环、甚至电流环，主节点中采用集中式的多轴控制器，所需大量的实时计算与其有限计算能力之间的矛盾。
$\qquad$ 我们的运动平台的架构应为上位机作为主节点控制整个系统的数字通信，并且能够实现作为参考位置产生器所需要的功能，包括：速度规划、轨迹插补。各个轴的伺服驱动器相当于这里的从节点（各分布式运动控制节点）为了达到并行计算和快速响应的目的，执行位置环控制和同步控制。
$\qquad$ 论文提出可以为实时以太网运动控制系统设计一个分布式的同步控制器。这样控制器采用分布式架构融合了分布式计算和实时以太网的优点就可以避免集中式架构计算能力有限的问题，显著提高系统的响应速度和重构性。

论文中采用基于位置同步误差的多轴同步控制思想引入到实时以太网系统中
此处输入图片的描述

出现新问题：

实时以太网下的分布式同步控制架构的设计
消息调度问题
网络诱导时延补偿问题
带时延补偿的分布式运动同步控制器是否是渐进稳定的

论文中提出三大假设：
1、主节点的参考位置产生器是基于时间驱动的（上位机固定时间产生参考位置），采样周期为 $T_S$ 。因此参考位置在 $kT_S$ 时有值。
2、假设网络诱导时延为短时延，其上界值为采样周期 $T_S$ 。（实时以太网采用一些确定性的实时通信协议，令牌传递或者基于优先级的消息调度实现各个节点间的信息交换）
3、论文将网络运动控制系统同步划分为时钟同步和运动同步，假设系统在实时以太网中各分布式时钟是同步的，保证所有网络节点共享一个时间基准。

1.5.4.1运动同步的控制目标

论文中认为同步控制的目标是使所有轴之间保持一定的运动学关系：

末端执行器（对应于机器人操作）或者刀具（对应于数控机床）的运动轨迹为一目标曲面的边界，可以表示为 $\partial S(\rho,t)=0$ ,其中 $S(\rho,t)$ 为目标曲面， $\rho$ 为状态向量， $t$ 为时间。

令 $x_i$ 和 $x_i^d$ 为第i轴的运动坐标的实际值和期望值，并且 $x_i^d$ 满足 $\partial S(x_i^d,t)=0$ ，同时，定义第i轴的位置误差为： $e_i=x_i^d-x_i$ 。设计的控制器需要同时完成两项任务：
任务1：实现传统的位置跟踪任务，即当时间 $t\to \infty$ ， $e_i\to 0$
任务2：实现运动同步，即过程中满足 $\partial S(x_i,t)=0，i=1,\cdots,n$

此处输入图片的描述

1.6TrueTime工具箱

此处输入图片的描述
TrueTime工具箱是由瑞典Lund工学院Anton Cervin 等人开发的软件包，可以方便地与Matlab/Simulink软件包中的其它控制模块相结合，快速搭建网络运动控制系统。

TrueTime工具箱几大模块：

实时内核模块（TrueTime Kernel）
又可以称为计算机模块，可作为各分布式节点使用，具有灵活的实时内核、A/D和D/A模块、网络发送和网络接收以及外部中断通道。
该模块可以按照用户定义的任务执行，代码可为Matlab或C++编写。
任务的执行取决于中断方式产生的内部事件（比如定时器产生触发）和外部事件（比如网络信息的到达）。
有线网络模块（TrueTime Network）
采用事件驱动方式执行工作，其网络参数设定包括节点数、网络传输速率、媒介访问控制协议等，支持的网络协议有：CSMA/CD（随机载波监听/冲突检测，如Ethernet）、CSMA/CA(载波监听/冲突避免，如CAN)、TDMA（时分多路复用，如EPA）、FDMA（频分多路复用）、Round Robin（如Token Bus）等方式。
独立的有线网络模块（TrueTime Standalone Network）
无线网络模块（TrueTime Wireless Network）
电池模块（TrueTime Battery）
超声网络模块（TrueTime Ultrasound Network）

二、论文不甚理解之处

$\qquad$ 在上交博士论文《实时以太网下多轴运动控制的同步问题研究》中，对所提出的分布式位置同步控制器的稳定性分析不是很理解，论文的推理或许有错：
多轴运动控制系统动力学模型：
$\qquad$ 该论文参考[2]认为一个多轴运动控制系统，轴数为n的动力学模型可以表达为：

公 式 （ ） ：

$公式（1）：\qquad H(x)\ddot{x}+C(x,\dot{x})\dot{x}=\tau$
这里

$H(x)=\{H_i(x_i)\}$ 是系统的惯量矩阵且为正定，文中为对角正定阵，

$C(x,\dot x)=\{C_i(x_i,\dot x_i)\}$ 为非线性影响项，具体为科里奥利力和向心力，并且

$\dot H(x)-2C(x,\dot x)$ 为斜对称阵，

$x=\{x_i\}$ 表示轴的运动坐标，而

$\tau=\{\tau_i\}$ 表示输入力矩。

位置同步误差和耦合位置误差：
$\qquad$ 文中在参考文献2定义的位置同步误差结合实时以太网线下多轴运动控制系统的通信特性（每个从节点较容易获取前面所有节点的反馈信息，但却较难获得其后续节点的反馈数据）将位置同步误差定义为：

公 式 （ ） ：

$公式（2）：\qquad \left[ \begin{matrix} {{\varepsilon }_{1}} \\ {{\varepsilon }_{2}} \\ {{\varepsilon }_{3}} \\ \vdots \\ {{\varepsilon }_{n}} \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ -1/2 & -1/2 & 1 & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & 0 \\ -1/n-1 & -1/n-1 & \cdots & -1/n-1 & 1 \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} {{e}_{1}} \\ {{e}_{2}} \\ {{e}_{3}} \\ \vdots \\ {{e}_{n}} \\ \end{matrix} \right]$
这里可以看出同步变换矩阵T式一个下三角矩阵，为了后续设计位置同步控制器，论文参考文献[3]引入了耦合位置误差：

公 式 （ ） ：

$公式（3）：\qquad E=e+\alpha \varepsilon=(I+\alpha T)e$
这里可以发现如果

$E\to 0$ ，那么

$e\to 0$ ，进而

$\varepsilon\to 0$

设计分布式位置同步控制器：（不考虑网络诱导延迟）
$\qquad$ 在给出了多轴运动控制系统动力学模型，定义了位置同步误差和耦合位置误差之后，论文参考文献2给出了位置同步控制器，该控制器是个PD同步控制器：

公 式 （ ） ：

$公式（4）：\qquad \tau ={{K}_{H}}{{\ddot{x}}^{d}}+{{K}_{C}}{{\dot{x}}^{d}}+{{K}_{P}}E+{{K}_{D}}\dot{E}+{{(I+\alpha T')}^{-1}}{{K}_{e}}\dot{e}+sign(\dot{E}){{K}_{N}}$
又可以令：

$K_M=mI\triangleq (I+\alpha T')^{-1}K_e$ ，

$K_M$ 是个标量矩阵，

$m>0$

公 式 （ ） ：

$公式（5）：\qquad \tau ={{K}_{H}}{{\ddot{x}}^{d}}+{{K}_{C}}{{\dot{x}}^{d}}+{{K}_{P}}E+{{K}_{D}}\dot{E}+mI\dot{e}+sign(\dot{E}){{K}_{N}}$

补偿网络诱导延迟：
$\qquad$ 论文针对网络诱导延迟算法评论了很多其它学者的算法，并且在该文中提出采用运动消息估计器，来估计前面所有轴在当前时刻的位置误差：

公 式 （ ） ：

$\bbox[5px,border:2px solid red] { 公式（6）：\qquad {{\widehat{x}}_{i}}(t)={{x}_{i}}(t-{{T}_{s}})+{{\widehat{v}}_{i}}(t-{{T}_{s}}) }$
文章中表示的为：

${{\widehat{x}}_{i}}(t)={{x}_{i}}(t-{{T}_{s}})-{{\widehat{v}}_{i}}(t-{{T}_{s}})$ 应该不对。

其中：

公 式 （ ） ：

$公式（7）：\qquad {{\widehat{v}}_{i}}(t-{{T}_{s}})=\Delta {{x}_{i}}(t-{{T}_{s}})+\frac{1}{2}(\Delta {{x}_{i}}(t-{{T}_{s}})-\Delta {{x}_{i}}(t-2{{T}_{s}})) \\ \qquad\qquad\qquad\qquad+\frac{1}{8}(\Delta {{x}_{i}}(t-{{T}_{s}})-2\Delta {{x}_{i}}(t-2{{T}_{s}})+\Delta {{x}_{i}}(t-3{{T}_{s}}))$

公 式 （ ） ：

$公式（8）：\qquad \left\{ \begin{matrix} \Delta {{x}_{i}}(t-{{T}_{s}})={{x}_{i}}(t-{{T}_{s}})-{{x}_{i}}(t-2{{T}_{s}}) \\ \Delta {{x}_{i}}(t-2{{T}_{s}})={{x}_{i}}(t-2{{T}_{s}})-{{x}_{i}}(t-3{{T}_{s}}) \\ \Delta {{x}_{i}}(t-3{{T}_{s}})={{x}_{i}}(t-3{{T}_{s}})-{{x}_{i}}(t-4{{T}_{s}}) \\ \end{matrix} \right.$

由此，可以导出：

公 式 （ ） ：

$公式（9）：\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\qquad\qquad\\ {{\widehat{x}}_{i}}(t)={{x}_{i}}(t-{{T}_{s}})+{{\widehat{v}}_{i}}(t-{{T}_{s}})\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad \\ ={{x}_{i}}(t-{{T}_{s}})+\Delta {{x}_{i}}(t-{{T}_{s}})+\frac{1}{2}(\Delta {{x}_{i}}(t-{{T}_{s}})-\Delta {{x}_{i}}(t-2{{T}_{s}})) \\ +\frac{1}{8}(\Delta {{x}_{i}}(t-{{T}_{s}})-2\Delta {{x}_{i}}(t-2{{T}_{s}})+\Delta {{x}_{i}}(t-3{{T}_{s}}))\qquad \\ ={{x}_{i}}(t-{{T}_{s}})+{{x}_{i}}(t-{{T}_{s}})-{{x}_{i}}(t-2{{T}_{s}})\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \\ +\frac{1}{2}({{x}_{i}}(t-{{T}_{s}})-2{{x}_{i}}(t-2{{T}_{s}})+{{x}_{i}}(t-3{{T}_{s}}))\qquad\qquad \\ \qquad+\frac{1}{8}({{x}_{i}}(t-{{T}_{s}})-3{{x}_{i}}(t-2{{T}_{s}})+3{{x}_{i}}(t-3{{T}_{s}})-{{x}_{i}}(t-4{{T}_{s}})) \\ \qquad=\frac{21}{8}{{x}_{i}}(t-{{T}_{s}})-\frac{19}{8}{{x}_{i}}(t-2{{T}_{s}})+\frac{7}{8}{{x}_{i}}(t-3{{T}_{s}})-\frac{1}{8}{{x}_{i}}(t-4{{T}_{s}})$

同理可得： ${{\widehat{e}}_{i}}(t)=\frac{21}{8}{{e}_{i}}(t-{{T}_{s}})-\frac{19}{8}{{e}_{i}}(t-2{{T}_{s}})+\frac{7}{8}{{e}_{i}}(t-3{{T}_{s}})-\frac{1}{8}{{e}_{i}}(t-4{{T}_{s}})$

此时，将以上结论代入公式（5）可以得：

公 式 （ ） ：

$公式（10）：\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\qquad\qquad\\ \tau ={{K}_{H}}{{{\ddot{x}}}^{d}}+{{K}_{C}}{{{\dot{x}}}^{d}}+{{K}_{P}}E+{{K}_{D}}\dot{E}+mI\dot{e}+sign(\dot{E}){{K}_{N}} \qquad\qquad\qquad\qquad\\ ={{K}_{H}}{{{\ddot{x}}}^{d}}+{{K}_{C}}{{{\dot{x}}}^{d}}+{{K}_{P}}(I+\alpha T)e+{{K}_{D}}(I+\alpha T)\dot{e}+mI\dot{e}+sign((I+\alpha T)\dot{e}){{K}_{N}} \\ ={{K}_{H}}{{{\ddot{x}}}^{d}}+{{K}_{C}}{{{\dot{x}}}^{d}}+{{K}_{P}}(P+Q)e+{{K}_{D}}(P+Q)\dot{e}+mI\dot{e}+sign((P+Q)\dot{e}){{K}_{N}} \qquad\qquad\\ ={{K}_{H}}{{{\ddot{x}}}^{d}}+{{K}_{C}}{{{\dot{x}}}^{d}}+ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\\ {{K}_{P}}(Pe+\frac{21}{8}Qe(t-{{T}_{s}})-\frac{19}{8}Qe(t-2{{T}_{s}})+\frac{7}{8}Qe(t-3{{T}_{s}})-\frac{1}{8}Qe(t-4{{T}_{s}}))+ \qquad\qquad\qquad\\ {{K}_{D}}(P\dot{e}+\frac{21}{8}Q\dot{e}(t-{{T}_{s}})-\frac{19}{8}Q\dot{e}(t-2{{T}_{s}})+\frac{7}{8}Q\dot{e}(t-3{{T}_{s}})-\frac{1}{8}Q\dot{e}(t-4{{T}_{s}}))+ \qquad\qquad\qquad\\ mI\dot{e}+ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\\ sign(P\dot{e}+\frac{21}{8}Q\dot{e}(t-{{T}_{s}})-\frac{19}{8}Q\dot{e}(t-2{{T}_{s}})+\frac{7}{8}Q\dot{e}(t-3{{T}_{s}})-\frac{1}{8}Q\dot{e}(t-4{{T}_{s}})){{K}_{N}} \qquad\qquad\qquad\qquad$

稳定性分析：
$\qquad$ 论文的想法是寻找一个李雅普诺夫能量函数，使得其为正定并且其对于时间的导数负定来作为系统渐近稳定的充分条件。
$\qquad$ 论文中认为如果采样周期 $T_s$ 取得足够小，那么可以通过泰勒展开近似得到如下关系式：

公 式 （ ） ：

$公式（11）：\qquad \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\\ f(x)=\frac{f({{x}_{0}})}{0!}+\frac{f'({{x}_{0}})}{1!}(x-{{x}_{0}})+\frac{f''({{x}_{0}})}{2!}{{(x-{{x}_{0}})}^{2}}\Rightarrow \\ e(t-i{{T}_{s}})=e(t)+\dot{e}(t)(t-i{{T}_{s}}-t)+\frac{\ddot{e}(t)}{2}{{(t-i{{T}_{s}}-t)}^{2}} \\ =e-i{{T}_{s}}\dot{e}+\frac{{{(i{{T}_{s}})}^{2}}}{2}\ddot{e}\qquad\qquad\qquad\\ \dot{e}{{(t-i{{T}_{s}})}}=\dot{e}-i{{T}_{s}}\ddot{e}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad$
因此，公式（10）可以改写为：

公 式 （ ） ：

$公式（12）：\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\\ Pe+\frac{21}{8}Qe(t-{{T}_{s}})-\frac{19}{8}Qe(t-2{{T}_{s}})+\frac{7}{8}Qe(t-3{{T}_{s}})-\frac{1}{8}Qe(t-4{{T}_{s}})\qquad\qquad\qquad \\ =Pe+\frac{21}{8}Q(e-{{T}_{s}}\dot{e}+\frac{{{T}_{s}}^{2}}{2}\ddot{e})-\frac{19}{8}Q(e-2{{T}_{s}}\dot{e}+\frac{4T_{s}^{2}}{2}\ddot{e}) \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\\ +\frac{7}{8}Q(e-3{{T}_{s}}\dot{e}+\frac{9T_{s}^{2}}{2}\ddot{e})-\frac{1}{8}Q(e-4{{T}_{s}}\dot{e}+\frac{16T_{s}^{2}}{2}\ddot{e}) \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\\ =Pe+Qe(\frac{21}{8}-\frac{19}{8}+\frac{7}{8}-\frac{1}{8})+{{T}_{s}}Q\dot{e}(-\frac{21}{8}+\frac{38}{8}-\frac{21}{8}+\frac{4}{8})+T_{s}^{2}Q\ddot{e}(\frac{21}{16}-\frac{76}{16}+\frac{63}{16}-\frac{16}{16}) \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\\ =Pe+Qe-\frac{1}{2}T_{s}^{2}Q\ddot{e} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\\$

$\tau ={{K}_{H}}{{{\ddot{x}}}^{d}}+{{K}_{C}}{{{\dot{x}}}^{d}}+{{K}_{P}}E+{{K}_{D}}\dot{E}+mI\dot{e}+sign(\dot{E}){{K}_{N}}\qquad\qquad \\ ={{K}_{H}}{{{\ddot{x}}}^{d}}+{{K}_{C}}{{{\dot{x}}}^{d}}+{{K}_{P}}(Pe+Qe-\frac{1}{2}T_{s}^{2}Q\ddot{e})+\qquad\qquad\qquad\qquad \\ {{K}_{P}}(P\dot{e}+Q\dot{e})+mI\dot{e}+sign(P\dot{e}+Q\dot{e}){{K}_{N}} \qquad\qquad\qquad\qquad\\ \bbox[5px,border:2px solid red] { ={{K}_{H}}{{{\ddot{x}}}^{d}}+{{K}_{C}}{{{\dot{x}}}^{d}}+{{K}_{P}}E-\frac{1}{2}T_{s}^{2}{{K}_{P}}Q\ddot{e}+{{K}_{P}}\dot{E}+mI\dot{e}+sign(\dot{E}){{K}_{N}} }$

这里与论文的结果有较大的出入，也会直接影响到李雅普诺夫能量函数选择的可行性。论文给出的结果是

$\bbox[5px,border:2px solid yellow] { \tau ={{K}_{H}}{{{\ddot{x}}}^{d}}+{{K}_{C}}{{{\dot{x}}}^{d}}+{{K}_{P}}E+15T_{s}^{2}{{K}_{P}}Q\ddot{e}+{{K}_{P}}\dot{E}+mI\dot{e}+sign(\dot{E}){{K}_{N}} }$

$\qquad$ 论文中选择的李雅普诺夫能量函数为：

$V=\frac 12 \dot e'(I+\alpha T')H(x)\dot e+\frac {15T_s^2}2\dot e'(I+\alpha T')K_PQ\dot e +\frac 12 E'K_PE\qquad\qquad\quad\\ \dot V=e'(I+\alpha T')H(x)\ddot e+\frac 12e'(I+\alpha T')\dot H(x)\dot e +15T_s^2\dot e'(I+\alpha T')K_PQ\ddot e+E'K_P\dot E$
后续的证明即是V正定，

$\dot V$ 负定，但是显然如果论文的推理结果错误的话，那么新的李雅普诺夫能量函数会选择为：

$\bbox[5px,border:2px solid red]{ V=\frac 12 \dot e'(I+\alpha T')H(x)\dot e-\frac 14\dot e'(I+\alpha T')K_PQ\dot e +\frac 12 E'K_PE\qquad\qquad\quad}\\ \dot V=e'(I+\alpha T')H(x)\ddot e+\frac 12e'(I+\alpha T')\dot H(x)\dot e -\frac 12\dot e'(I+\alpha T')K_PQ\ddot e+E'K_P\dot E$
这里无法保证一定是正定的，必然需要重新考虑选择合适的李雅普诺夫能量函数。

[1] Correll K., Barendt N., and Branicky M., “Design considerations for software only implementations of the IEEE 1588 precision time protocol”, Proceedings of the IEEE International Symposium on Precision Clock Synchronization for Measurement, Control and Communication, 2005. ↩
[2] Sun D., Shao X., and Feng G., “A model-free cross-coupled control for position synchro-
nization of multi-axis motions: Theory and experiments”, IEEE Transactions on Control
Systems Technology, 2007, 15(2), 306–314. ↩
[3] Sun D. and Ge S., Synchronization and control of multiagent systems, CRC Press, 2010. ↩