SOASMC-MDCS-PMSM

(second-order adaptive sliding mode control)
(Mean deviation coupling synchronous)
(Permanent magnet synchronous motor)
三轴运动平台

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一个典型的多轴电机同步控制方案包括：

• 同步控制策略 ：计算同步误差
• 控制算法 ：提升同步控制精度

1 现有方法和论文方法的区别之处

1.1 同步控制策略

其它学者方法：

• 主从控制（master-slave control strategy）[1]
  $\qquad$控制结构简单，设定一个电机为主节点，其它电机为从节点，使从节点跟踪主节点的响应。主节点上的干扰将会影响到从节点，但是反之是不存在的[2]。
• 虚拟轴控制策略(virtual-shaft control strategy)[3][4]
  $\qquad$系统的输入信号通过虚拟轴来产生电机的参考信号，从而导致电机的参考信号和系统的输入信号是不相等的。
• 交叉耦合控制（Cross-coupling control strategy）[5][6][7][8][9]
  $\qquad$利用两个电机速度响应的差异作为一个额外的反馈跟踪信号，但是想要扩展成两个电机以上的系统很难。
• 偏差耦合控制、相邻交叉耦合控制和环耦合控制
  $\qquad$这些都是基于交叉耦合控制的基础之上改进的，并有效解决了交叉耦合控制扩展困难的问题。
  $\qquad$偏差耦合控制器[10]虽然具有更好的同步控制效果，但是当电机的个数大于2，就需要设计$n^2$控制器，整个系统会随着电机数量的增加而变得复杂。
  $\qquad$相邻交叉耦合控制器[11]的提出有效解决了偏差耦合控制器在多轴系统下的复杂度高的问题，当电机的个数为$n$时，只需要设计$3n$个分布式控制器。
  $\qquad$另外环耦合控制器[12]的提出降低了需要设计的分布式控制器个数，当电机的个数为$n$时，只需要设计$2n$个分布式控制器。

论文方法（MDCS-均值偏差耦合同步）：
$\qquad$文中认为，尽管之前的学者提出了多种同步控制的方法，并且已经能够得到较好的同步控制效果，也解决了交叉耦合器在多轴系统上复杂度高的问题，但是像是交叉耦合同步控制器及其改进都只是利用到了相邻电机的速度作为反馈补偿。这些方法没有考虑到可能因为变速延迟造成所有电机响应不同的问题。

• 保证多轴电机运动控制系统的同步性能
  (1)提升同步控制的准确度
  (2)速度跟踪误差、每轴的速度误差($e_i=V_i^d-V_i$)、速度同步误差($\varepsilon=Te$)快速趋于0
• 降低随着增加电机数量而带来的系统复杂度
• 较好的鲁棒性
  (1)参数变化
  (2)随机外部干扰
• 缓解抖振现象

1.2 控制算法

其它学者方法：

• 传统PID控制[13]
• 自适应前馈控制[14][15]
• $H_\infty$控制[16]
• 迭代学习控制[17]
• SMC-滑膜控制[18][19][20][21][22]
  $\qquad$当系统受到随机干扰时，参数变化和动态驱动就会不匹配。滑膜控制方法的好处在于，一旦系统轨迹达到或者停留在滑膜面，那么此时SMC系统对参数变化、模型不确定性以及外部干扰具有一定的鲁棒性。
  存在的问题及解决方法：
  $\qquad$一般来说，为了保证滑膜控制的鲁棒性会采用较大的开关（符号）增益，而这恰恰会造成系统的抖振。
  $\qquad$(1)为了减缓这种抖振现象，一般会采用饱和函数来取代符号函数，但是利用饱和函数之后很难保证良好的控制性能并且对其边界的选取也会使系统产生不定的稳态误差。
  $\qquad$(2)另一种方法是减小开关控制器（符号函数）的增益，这回造成SMC系统的鲁棒性变差不足以应付系统的各种不确定性
• 模糊控制[23]
• 神经网络控制[24]

文中引用的方法:
$\qquad$文中对SMC-滑膜控制的性能与实际过程中可能出现的问题评论之后，引用了改进的SMC方法（SOSMC-二阶滑膜控制器）[25][26][27][28][29][30]。
$\qquad$二阶滑膜控制器方法的优点：

• 保持了传统SMC鲁棒性好，简单的特点
• 缓解了系统抖振现象

$\qquad$二阶滑膜控制器的方法存在的问题：
$\qquad$包含机械参数变化和外部扰动的不确定性上界的选择对控制性能有着重要的影响。但是，在实际应用中，不确定性的上界很难预先知道，实际应用滑模控制律是很困难的。因此在设计SOSMC的时候，需要先假设已知不确定上界值。
$\qquad$文中提到采用了一种自适应的方法来估计这未知上界值。

2 平均偏差耦合控制策略

$\omega_{ref}*$：给定机械角速度
$\omega_i$：各轴电机机械角速度
$\omega_m$：所有轴电机平均机械角速度
$e_{i,\sum}$：平均角速度误差，$e_{i,\sum}=\omega_i - \omega_m$
$e_{ref,i}$：角速度跟踪误差

$\qquad$核心思想：将各轴电机的实时角速度与系统平均角速度的差值作为该轴的反馈补偿信号。

$\qquad$速度控制器的目标在于：

• 角速度轨迹误差趋于0
• 平均角速度误差趋于0

$$\lim_{t\to\infty}|e_{ref,i}(t)|=0\\ \lim_{t\to\infty}|e_{i,\sum}(t)|=0$$

$\qquad$从上图所示,每轴的速度控制器内部包含两个子控制器，当系统含有n个轴时，只需要设计$2n$个控制器，大大减少了系统复杂度：

• 1、角速度跟踪控制器$C_{ref,i}$：用来准确跟踪设定的
• 2、平均速度偏差控制器$C_{i,\sum}$：用来补偿被控电机的输出速度

值得注意的是：
文中仍然采用传统的同步误差定义：

$$\left\{ \begin{matrix} {{e}_{i,i+1}}(t)={{\omega }_{i}}(t)-{{\omega }_{i+1}}(t)~~~~~,i<n~~ \\ {{e}_{n,n+1}}(t)={{\omega }_{n}}(t)-{{\omega }_{1}}(t)~~~~~,i=n~ \\ \end{matrix} \right.$$

3 滑膜控制器设计

3.1 一阶滑膜控制器

3.1.1速度跟踪控制器

经过一些设定之后有：

$${{\dot{x}}_{i}}(t)={{a}_{i0}}{{u}_{q(i)}}(t)+{{c}_{i0}}{{x}_{i}}(t)+{{h}_{i}}(t)$$
因此：
$${{\dot{e}}_{ref,i}}(t)=\dot{x}{{*}_{ref}}(t)-{{\dot{x}}_{i}}(t)=\dot{x}{{*}_{ref}}(t)-{{a}_{i0}}{{u}_{q(i)}}(t)-{{c}_{i0}}{{x}_{i}}(t)-{{h}_{i}}(t)$$
定义传统滑膜面为：
$${{\delta }_{ref,i}}(t)=c{{e}_{ref,i}}(t)+\int_{0}^{t}{{{e}_{ref,i}}(\tau )}d\tau$$
这里c是一个给定的正常数，如果找到一个合适的控制率能够使得$\bbox[5px,border:2px solid red] {{{\delta }_{ref,i}}(t)\dot{{\delta }}_{{ref,i}}(t)<0}$那么可以得到：
$$\bbox[5px,border:2px solid red] { {{\delta }_{ref,i}}(t)=c{{e}_{ref,i}}(t)+\int_{0}^{t}{{{e}_{ref,i}}(\tau )}d\tau =0} \\ {{e}_{ref,i}}(t)={{e}_{ref,i}}(0)e{}^{-\frac{t}{c}} \\ $$
其中，参数c决定了跟踪误差的收敛速率，$\bbox[5px,border:2px solid yellow] {这里两数相乘小于0怎麼可以得到其中一个数为0？}$
根据以上式子得：
$$\dot{{\delta }}_{{ref,i}}(t)=c\dot{{e}}_{{ref,i}}(t)+{{e}}_{{ref,i}}(t)\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\\=c(\dot{x}{{*}_{ref}}(t)-{{a}_{i0}}{{u}_{q(i)}}(t)-{{c}_{i0}}{{x}_{i}}(t)-{{h}_{i}}(t))+{{e}}_{{ref,i}}(t)$$
这里${{u}_{q(i)}}(t)={{u}_{ref，i}}(t)$

速度轨迹SMC控制率为：

$${{u}_{ref，i}}(t)={{u}_{ref，eqi}}(t)+{{u}_{ref，hiti}}(t)$$
其中 $${{u}_{ref，eqi}}(t)=\frac{1}{ca_{i0}}(c \dot x^*_{ref}(t)-cc_{i0}x_i(t)+e_{ref,i}(t))\\ u_{ref,hiti(t)}=\frac{1}{a_{i0}}\rho_{ref,i}sgn(\delta_{ref,i}(t))$$
根据SMC控制率代入上式得：
$$\dot{{\delta }}_{{ref,i}}(t)=-ch_i(t)-c\rho_{ref,i}sgn(\delta_{ref,i}(t))$$

3.1.1平均速度偏差控制器

假设：已知$\overline a_0,\overline c_0$满足
$\overline a_0=a_{i0}=a_{j0},\overline c_0=c_{i0}=c_{j0}$

$$\dot e_{i,\sum}(t)=\dot x_i(t)-\frac{\sum_{j=1}^n\dot x_j(t)}{n}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\\=\overline a_0(u_{q(i)}(t)-\frac 1n\sum_{j=1}^nu_{q(j)}(t))+\overline c_0(x_i(t)-\frac 1n\sum_{j=1}^nx_j(t))+h_i(t)-\frac 1n\sum_{j=1}^nh_j(t)\\=\overline a_0u_{i,\sum}(t)+\overline c_0e_{i,\sum}(t)+h_i(t)-\frac 1n\sum_{j=1}^nh_j(t)\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad$$
其中$u_{i,\sum}(t)=u_{q(i)}(t)-\frac 1n\sum_{j=1}^nu_{q(j)}(t)$
则$e_{i,\sum}(t)$滑模时变表面在$R^2$可以定义为：
$\delta_{i,\sum}(t)=ce_{i,\sum}(t)+\int_0^te_{i,\sum}(\tau)d\tau$
同理：
$$\dot\delta_{i,\sum}(t)=c\dot e_{i,\sum}(t)+e_{i,\sum}(t)\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\\ =c(\overline a_0u_{i,\sum}(t)+\overline c_0e_{i,\sum}(t)+h_i(t)-\frac 1n\sum_{j=1}^nh_i(t))+e_{i,\sum}(t)$$
平均速度偏差控制率为：
$${{u}_{i,\sum}}(t)={{u}_{eqi,\sum}}(t)+{{u}_{hiti,\sum}}(t)$$
其中 $${{u}_{eqi,\sum}}(t)=-\frac{1}{ca_{0}}(c \overline c_0e_{i,\sum}(t)+e_{i,\sum}(t))\\ u_{hiti,\sum}=-\frac{1}{a_{0}}(k\delta_{i,\sum}(t)+\rho_{i,\sum}sgn(\delta_{i,\sum}(t)))$$
根据SMC控制率代入上式得：
$$\dot{{\delta }}_{{i,\sum}}(t)=-ck\delta_{i,\sum}(t)-c\rho_{i,\sum}sgn(\delta_{i,\sum}(t))+ch_i(t)-\frac cn\sum_{j=1}^nh_j(t)$$

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