2025年普通高等学校招生全国统一考试（模拟卷）数学

本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合 $A = \{ x \mid y = \sqrt{-x^2+2x+3} \}$，$B = \{ x \mid 2^{x^2} > 8 \}$，则 $A \cap B =$
A. $[-1, -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, 3]$
B. $(\sqrt{3}, 3]$
C. $[-1, 3]$
D. $(-\infty, -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, +\infty)$

2. 已知复数 $z$ 满足 $|z-2| = \sqrt{2}$，且 $(1+i)z$ 为纯虚数，则 $z$ 的虚部为
A. $-1$
B. $0$
C. $1$
D. $2$

3. 平面向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}|=1$，$|\vec{b}|=2$，$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$。若向量 $\vec{c}$ 满足 $(\vec{c}-\vec{a}) \cdot (\vec{c}-\vec{b}) = 0$，则 $|\vec{c}|$ 的取值范围是
A. $[0, \sqrt{5}]$
B. $[1, \sqrt{5}]$
C. $[\sqrt{2}, \sqrt{5}]$
D. $[0, 2]$

4. 已知函数 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的偶函数，当 $x \ge 0$ 时，$f(x) = e^x - \cos x$，设 $a = f(\log_3 2)$，$b = f(2^{-0.3})$，$c = f(0.4^{0.5})$，则 $a, b, c$ 的大小关系为
A. $a < b < c$
B. $a < c < b$
C. $b < a < c$
D. $c < a < b$

5. 某校高三学生数学考试成绩近似服从正态分布 $N(90, \sigma^2)$。已知 $P(X > 120) = 0.1$，$P(75 \le X \le 105) = 0.6$，则 $P(90 \le X \le 120) =$
A. $0.2$
B. $0.3$
C. $0.4$
D. $0.6$

6. 已知三棱锥 $S-ABC$ 的所有顶点都在球 $O$ 的球面上，$\triangle ABC$ 是边长为 $\sqrt{3}$ 的正三角形，且 $SA = SB = SC = 2$，则球 $O$ 的表面积为
A. $8\pi$
B. $\frac{16\pi}{3}$
C. $12\pi$
D. $6\pi$

7. 已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ($a,b>0$) 的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$，点 $P$ 在双曲线的右支上，且 $\angle F_1PF_2 = 60^\circ$，$|PF_1| = 3|PF_2|$，则双曲线的离心率为
A. $\frac{\sqrt{7}}{2}$
B. $\frac{\sqrt{5}}{2}$
C. $\sqrt{3}$
D. $2$

8. 已知函数 $f(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 上可导，且满足 $f(x) - f'(x) > 0$，$f(1) = e$，则不等式 $f(\ln x) < x$ 的解集为
A. $(0, 1)$
B. $(1, e)$
C. $(e, +\infty)$
D. $(0, e)$

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9. 已知函数 $f(x) = \sin(\omega x + \varphi) + \sqrt{3}\cos(\omega x + \varphi)$ ($\omega > 0, |\varphi| < \frac{\pi}{2}$) 的最小正周期为 $\pi$，且 $f(x) \le f\left(\frac{\pi}{6}\right)$ 恒成立，则下列说法正确的有
A. $\omega = 2$
B. $\varphi = \frac{\pi}{6}$
C. $f(x)$ 在 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上单调递减
D. 将 $f(x)$ 图象向左平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位长度后，所得函数为偶函数

10. 已知抛物线 $C: y^2 = 4x$ 的焦点为 $F$，准线为 $l$，过 $F$ 的直线交 $C$ 于 $A, B$ 两点，过 $A$ 作 $l$ 的垂线，垂足为 $H$，$O$ 为坐标原点。则下列结论正确的有
A. 以 $AB$ 为直径的圆与准线 $l$ 相切
B. $|AF| \cdot |BF|$ 的最小值为 $4$
C. 若 $|AF| = 2|BF|$，则直线 $AB$ 的斜率为 $2\sqrt{2}$
D. $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = -3$

11. 已知定义在 $(0, +\infty)$ 上的函数 $f(x)$ 满足 $x f'(x) - f(x) = x \ln x$，且 $f(e) = e$，则下列结论正确的有
A. $f(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 上单调递增
B. 存在 $x_0 \in (0, +\infty)$ 使得 $f'(x_0) = 0$
C. 曲线 $y = f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程为 $y = x$
D. 对任意 $x > 0$，都有 $f(x) \ge \frac{x}{2}$

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12. 若 $(1 + ax)(1 - 2x)^5$ 的展开式中 $x^3$ 的系数为 $-120$，则实数 $a =$ __。

13. 在等腰直角三角形 $ABC$ 中，$AB = AC = 2$，$D$ 为 $BC$ 的中点。将 $\triangle ABD$ 沿 $AD$ 折起，使得二面角 $B-AD-C$ 为直二面角，则折叠后四面体 $ABCD$ 的外接球表面积为 __。

14. 已知函数 $f(x) = e^x - ax^2$ ($a > 0$) 在 $(0, +\infty)$ 上有两个极值点，则实数 $a$ 的取值范围是 __。

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（13分）
在 $\triangle ABC$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$，已知 $(b + c)(\sin B - \sin C) = (a - c)\sin A$。
(1) 求角 $B$ 的大小；
(2) 若 $b = 2$，求 $\triangle ABC$ 面积的最大值。

16.（15分）
如图，在四棱锥 $P-ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 为直角梯形，$AD \parallel BC$，$\angle ADC = 90^\circ$，$AD = 2BC = 2CD = 2$，$PA \perp$ 平面 $ABCD$，$PA = 1$，$E$ 为棱 $PD$ 的中点。
(1) 求证：$CE \parallel$ 平面 $PAB$；
(2) 求二面角 $B-CE-D$ 的余弦值。

17.（15分）
已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ($a > b > 0$) 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$，且过点 $(2, 0)$。
(1) 求椭圆 $C$ 的方程；
(2) 直线 $l: y = kx + m$ 与椭圆 $C$ 交于 $A, B$ 两点，以 $AB$ 为直径的圆经过坐标原点 $O$。求证：原点 $O$ 到直线 $l$ 的距离为定值，并求该定值。

18.（17分）
已知函数 $f(x) = x e^x - a(x + \ln x)$ ($a \in \mathbb{R}$)。
(1) 当 $a = e$ 时，求 $f(x)$ 的最小值；
(2) 讨论函数 $f(x)$ 的零点个数。

19.（17分）
设有穷正整数数列 $a_1, a_2, \dots, a_m$ ($m \ge 2$) 满足：对任意 $1 \le i < j \le m$，均有 $a_i + a_j$ 整除 $i + j$，则称该数列为“和谐数列”。
(1) 求所有长度为 $2$ 的和谐数列；
(2) 若长度为 $3$ 的严格递增和谐数列满足 $a_1 = 1$，求 $a_2, a_3$；
(3) 是否存在长度为 $2025$ 的和谐数列，使得 $a_1 = 1$ 且数列严格递增？若存在，写出该数列的通项公式；若不存在，请说明理由。