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@joyphys 2015-07-03T05:08:19.000000Z 字数 8386 阅读 2642

第2讲:运动

Blog 物理理论最低基础


莱尼抱怨:“乔治,跳跃频闪的东西令我不爽。时间是蹦蹦跳跳而溜去的吗?我希望事情平滑而行。”乔治思考片刻,擦掉黑板,“好的,莱尼,今天我们就学习平滑变化的系统。”

插播数学:微分

在本书中,我们主要处理的问题是,看物理量如何随时间变化。经典力学主要研究事物如何平滑变化,用数学中的术语就是连续变化。状态将动力学定律随时间演化连续更新,不同于上一节中的频闪变化。因此,我们有兴趣学学独立变量t的函数。

数学上处理连续变化需要用微分。微分与极限密切相关,我们先讨论下极限。我们考虑一个数列l1, l2, l3, , 它们越来越靠近某个值LL即成为数列的极限。比如数列:0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, . . . ,这个数列的极限为1。数列里没有数字1,但是它们越来越靠近1。我们用如下符号表示这个事情:

limili=L

这个式子表示的意思是当i趋于无穷的时候,Lli的极限。

这个思想也可用于函数。我们考虑函数f(t),我们想知道当t越来越靠近某个值(比如a)时函数值如何变化。如果当t趋近于a时,f(t)可任意接近某个值L,我们称t趋近于a时,f(t)的极限为L,记作

limtaf(t)=L

f(t)是变量t的函数,t变化,则f(t)也变化,微分就是讨论函数的变化率。想法是这样的,知道某瞬时的函数值为f(t),然后让时间变化一点点,看看函数值变化多少。变化率为函数值f的变化量与自变量t变化量的比值。变化量用大写希腊字母Δ表示,时间t的变化量即为Δt(注意这不是Δ×t)。在时间间隔Δt内,函数值从f(t)变化到f(t+Δt),函数的变化量为

Δf=f(t+Δt)f(t)

要精确定义时刻t时函数的变化量,必须让Δt趋于0,而此时,Δf也趋于0,但二者的比值一般不为0,有个极限值,这个极限就是f(t)t的导数,

dfdt=limΔt0ΔfΔt=limΔt0f(t+Δt)f(t)Δt(1)

现在让我们练习下求导计算。比如计算函数f(t)=t2的导数。根据方程1计算导数。先计算

f(t+Δt)=(t+Δt)2=t2+2tΔt+Δt2

减去f(t)
f(t+Δt)f(t)=(t+Δt)2t2=2tΔt+Δt2

两边除去Δt
f(t+Δt)f(t)Δt=2tΔt+Δt2Δt=2t+Δt

Δt趋于0时,上式第一项不受影响,第二项将消失。记住一点:当计算导数时,Δt的高阶项将为0。因此,
limΔt02tΔt+Δt2Δt=2t

t2的导数为
d(t2)dt=2t

下面我们考虑一般的幂函数,f(t)=tn。先计算f(t+Δt)=(t+Δt)n,它可由二项式定理进行计算,

f(t+Δt)=(t+Δt)n=tn+ntn1Δt+n(n1)2tn2Δt2+n(n1)(n2)3tn3Δt3++Δtn

减去f(t),得
Δf==f(t+Δt)f(t)=tn+ntn1Δt+n(n1)2tn2Δt2+n(n1)(n2)3tn3Δt3++Δtntnntn1Δt+n(n1)2tn2Δt2+n(n1)(n2)3tn3Δt3++Δtn

除以Δt
ΔfΔt=ntn1+n(n1)2tn2Δt+n(n1)(n2)3tn3Δt2++Δtn1

Δt0,得导数为
dtndt=ntn1

即便n不是整数,上式依然成立,n可为任意实数或复数。

这里说几个特例。n=0f(t)=100n=0,此时f(t)=t,导数为1——变量 自己对自己的导数为1。

下面列举几个常见的导数。

d(sint)dt=cost
d(cost)dt=sint
d(et)dt=et(2)
d(lnt)dt=1t

方程2值得说一说。如果t是整数,et的含义很明显,比如e3=e×e×e。方程2就是et的定义,导数就是自身。

关于导数还有几条有用的规则。你可以作为联系证明一下。第一条规则,常数的导数为0。这容易理解,导数是变化率,而常数没有变化,因此有

dcdt=0

常数与函数f(t)乘积也是函数,它的导数等于常数乘以函数f(t)的导数,

d(cf)dt=cdfdt

函数代数和的导数等于各个函数导数的代数和,比如两个函数f(t)和和g(t),有如下关系:

d(f+g)dt=d(f)dt+d(g)dt

函数的积的导数满足如下关系:
d(fg)dt=g(t)d(f)dt+f(t)d(g)dt

f(g)g的函数,g(t)t的函数,那么f最终是t的函数,这种函数称为隐函数。你要是想知道某个t对应的f值,你需要先计算g(t),然后计算f(g)。函数f对时间t的导数满足如下关系:

d(f)dt=d(f)dgd(g)dt

这称为链式规则。链式规则可以让你想出一个中间函数,方便地计算一个复杂的函数的导数。比如计算如下函数的导数,
f(t)=lnt3

设计一个中间函数g(t)=t3,于是有f(g)=lng,然后应用链式规则
dfdt=dfdgdgdt

应用求导公式,dfdg=1gdgdt=3t2,带入上式,
dfdt=3t2g

带入g(t)=t3,得
dfdt=3t

应用以上规则你可以方便地计算导数。以上基本上就是求导的所有规则。

练习1:计算以下函数的导数:
f(t)=t4+3t312t2+t6
g(x)=sinxcosx
θ(α)=eα+αlnα
x(t)=sin2tcost

(注:第4个函数原文误为x(t)=sin2xcosx

练习2:导数的导数称为二阶导数,写为d2f(t)dt2。计算练习1中各函数的二阶导数。
练习3:应用链式规则,计算以下函数的导数:
g(t)=sin(t2)cos(t2)
θ(α)=e3α+3αln(3α)
x(t)=sin2(t2)cos(t2)
练习4:证明函数和与积的求导法则和链式规则。
练习5:证明方程2

粒子运动

点粒子是个理想化的概念,任何东西都如一个点那么小,即便是电子也不会那么小。但是,在很多情况下,我们可以忽略物体的形状,当做一个点来处理。比如地球显然不是一个点,但计算地球绕太阳公转时的轨道的时候,我们忽略地球的大小,也可以得到精度很高的结果。

粒子的位置可由三个空间坐标给出,粒子的运动通过每个时刻粒子的位置来定义。数学上,给出三个空间坐标随时间t变化的函数:x(t)y(t)z(t),即指明了一个位置。

粒子在t时刻的位置还可以用矢量r(t)表示,有三个分量x(t)y(t)z(t)。粒子走过的路径(称为轨迹)用r(t)表示。经典力学要干的工作就是根据初始条件和动力学定律确定出r(t)

除了位置,粒子另外一个最重要的信息是速度。速度也是矢量。定义矢量需要一点微积分知识。

考虑一个粒子在t时刻及随后晚一点点时刻t+Δt的位移。在这个很小的时间间隔Δt内,粒子从x(t)y(t)z(t)处运动至x(t+Δt)y(t+Δt)z(t+Δt),或者用矢量表示,从r(t)运动至r(t+Δt)处。位移可定义为:

Δx=x(t+Δt)x(t)
Δy=y(t+Δt)y(t)
Δz=z(t+Δt)z(t)


Δr=r(t+Δt)r(t)

位移即是在粒子在很短的时间Δt内走过的位移。速度为位移除以时间Δt,并取极限Δt趋于零。如x方向的速度为
vx=limΔt0ΔxΔt

这实际上就是x对时间求导。
vx=dxdt=x˙
vy=dydt=y˙
vz=dzdt=z˙

变量上一点表示对时间求导。这可以用于任何量对时间求导。比如T表示一壶水的温度,T˙表示温度的时间变化率。这种表示方法我们还会多次遇到。

一直要写xyz,显得很繁琐,我们可约化成一个符号。坐标的三个分量可记为xi,速度的分量可记为vi

vi=dxidt=x˙i

其中, i取的值为xyz。速度也可用矢量表示:
v=drdt=r˙

速度的大小为|v|
|v|2=v2x+v2y+v2z

速度的大小表示粒子运动的快慢,也称为速率。

加速度表示速度如何变化。粒子的速度如果是个常矢量,即粒子的速度不发生变化,则粒子没有加速度。速度是常矢量不仅仅表示速度的大小不发生变化,还表示速度的方向不发生变化。速度的大小和方向只要有其一发生变化,即速度发生变化,即有加速度。加速度是速度对时间的导数:

ai=dvidt=v˙i

用矢量表示:
a=dvdt=v˙

vixi对时间的一阶导数,aivi对时间的一阶导数,因此,aixi对时间的二阶导数,
ai=d2xidt2=v¨i

变量上面的两个点表示对时间的二阶导数。

举例

考虑一个粒子,自t=0时开始运动,运动方程如下:

x(t)=0
y(t)
z(t)=z(0)+v(0)t12gt2

很明显,粒子在xy方向上没有运动,只沿着z轴运动,常数z(0)v(0)表示z方向上粒子的初始位置和初始速度。g也是一个常数。

对时间求导,可得粒子的速度,

vx(t)=0
vy(t)=0
vz(t)=v(0)gt

速度的xy分量总是零,速度的z分量在t=0时刻的值为v(0)

随着时间的流逝,gt这一项就不再是零了,最终会超过v(0),粒子沿z轴负方向运动。

再对时间求一次导,可得粒子加速度,

ax(t)=0
ay(t)=0
az(t)=g

加速度沿z轴方向,是个负的常数。如果z轴竖直向上,粒子向下加速,就像下落的物体那样。

下面我们考虑一个振荡的粒子,粒子在x方向往复运动。由于沿yz方向没有运动,我们将其忽略。三角函数就可表示一个简单的振荡运动,

x(t)=sinωt

其中,希腊字母ω为常数,它的数值越大,表示振荡的越快,这种运动叫简谐振动,如图1所示。

下面计算速度和加速度。x(t)对时间的一阶导数即为速度,

vx=dx(t)dt=ddtsinωt=ωcosωt

加速度是x(t)对时间的二阶导数,也即vx(t)对时间的一阶导数,
ax=d2xdt2=dvx(t)dt=ω2sinωt

有一些有趣的事情值得注意。当粒子处于最极大或最极小值时,粒子速度为零。fangu反过来,当粒子处于x=0处时,粒子速度达到极大或极小。这种情况我们称粒子位置与速度反相,相位差90°。见图2和图3。

粒子位置与加速度也有联系,二者都正比于sinωt,但是符号相反,当粒子位置是正(负)的时候,粒子的加速度为负(正)。即不管粒子在哪里,粒子都往原点加速,位置和加速度反相,相位差为180°。

练习6:粒子完成一个运动周期需要多长时间?

下一个例子,粒子绕原点做匀速圆周运动,即以恒定速率沿圆周运动。我们可以不考虑z轴,只考虑x, y平面上的运动。要描述这一运动,需要两个函数x(t)y(t)。我们考虑粒子沿逆时针方向运动,轨迹的半径为R

把运动投影到xy轴上,可以使运动更直观。粒子绕着原点转圈,它的x坐标从RR之间来回变换,y坐标也是一样,但是xy坐标有90°的相位差,当x坐标达到最大值,y坐标为0,反之亦然。

对于逆时针的匀速圆周运动,运动方程如下:

x(t)=Rcosωt
y(t)=Rsinωt

其中,ω圆频率,表示单位时间内粒子转过的角的弧度。粒子转一圈用的时间为运动周期:
T=2πω

由运动方程就可以计算速度分量和加速度分量:

vx=Rsinωt
vy=Rcosωt
ax=R2cosωt
ay=R2sinωt

可以看出圆周运动一个有趣的性质:加速度与位置矢量平行反向,即加速度的方向指向原点。牛顿曾用这个性质分析过月亮的运动。

练习7:证明位置矢量和速度矢量正交
练习8:给出以下位置矢量,计算对应的速度矢量和加速度矢量,并用画图软件作出各位置矢量及其对应的s速度矢量和加速度矢量的图。
r=(cosωt,eωt)
r=(cos(ωtϕ),sin(ωtϕ))
r=(ccos3t,csin3t)
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