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@joyphys 2016-01-25T23:59:59.000000Z 字数 1388 阅读 1658

欧几里得证明是无理数

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选自《费马大定理:一个困惑了世间智者358年的谜》,有少许改动。
原译者:薛密

是无理数,即不能写成一个分数。欧几里得以反证法证明此结论。第一步是假定相反的事实是真的,即可以写成某个未知的分数。用 来代表这个假设的分数,其中 是两个整数。

在开始证明本身之前,需要对分数和偶数的某些性质有个基本的了解。

(1) 如果任取一个整数并且用2去乘它,那么得到的新数一定是偶数。这基本上就是偶数的定义。
(2) 如果已知一个整数的平方是偶数,那么这个整数本身一定是偶数。
(3) 最后,分数可以简化。例如分数,用2除分子分母得,两个分数是相等的,进一步, 是相等的,而 又与是相等的。然而,不能再化简,因为2 和3没有公因数。不可能将一个分数永远不断地简化。

欧几里得相信不可能写成一个分数。然而,由于他采用反证法,所以他先假定

将两边平方,得

现在根据第(1) 点我们知道 必定是偶数。此外,根据第(2) 点我们知道 本身也必须是偶数。但是,如果 是偶数,那么它可以写成,其中 是某个别的整数。这是从第(1) 点可以得出的结论。将这再代回到等式中,我们得到

两边除以2,得

但是根据我们前面用过的同样的论证,我们知道 必须是偶数,因而 本身必须是偶数。如果确实是这样,那么 可以写成,其中 是某个别的整数。如果我们回到开始的地方,那么

现在我们得到一个新的分数,它比更简单。

然而,我们发现对我们可以精确地重复以上同一个过程,在结束时我们将产生一个更简单的分数,比方说。然后又可以对这个分数再重复相同的过程,而新的更为简单的分数,比方说将是。我们可以对它再作同样的处理,并且一次次地重复这个过程,不会结束。但是根据第(3) 点我们知道任何分数不可能永远简化下去,总是必须有一个最简单的分数存在,而我们最初假定的分数 似乎不服从这条法则。于是,我们可以有正当的理由说我们得出了矛盾。如果可以写成为一个分数,其结果将是不合理的,所以,说不可能写成一个分数是对的。于是,是一个无理数。

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