傅里叶变换

简述一维和d维连续和离散变量的傅里叶变换。见 Principles of Condensed Matter Physics，pp 97

一维连续变量

考虑函数$f(x)$，$x \in [-L/2, L/2]$，如果$f(x)$连续或只有有限个第一类间断点，只有有限个极值点，则可以展开成傅立叶级数：

$$f(x)=\sum_q\psi_q(x)f(q) (2) \qquad (1)$$ $\psi_q(x)$与$f(x)$满足同样的边界条件。
在物理学中，$f(x)$常常是周期函数， $$f(x)=f(x+L) \qquad (2)$$ 那么，相应地，$\psi_q(x)$也为周期函数，可取为

$$\psi_q(x)=Ae^{iqx} \qquad (3)$$ 其中， $$q=\frac{2\pi}{L}n, n = 0, \pm 1, \pm 2, \cdots \qquad (4)$$

$A$为任意归一化常数，函数$e^{iqx}$正交完备，于是，

$$f(x)=A\sum_q e^{iqx}f(q) \qquad (5)$$ $$f(q)=\frac{1}{AL}\int_{-L/2}^{L/2} e^{-iqx}f(x){\rm d}x \qquad (6)$$ $L \rightarrow \infty$，求和变积分， $$\sum_q \equiv \sum_n \Delta n = \frac{L}{2\pi} \sum_q \Delta q \rightarrow L \int_{-\infty}^{\infty} \frac{{\rm d}q}{2\pi} \qquad (7)$$ 于是， $$f(x)=AL \int_{-\infty}^{\infty} \frac{{\rm d}q}{2\pi} e^{iqx}f(q) {\overset{AL=1}{\longrightarrow}}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{{\rm d}q}{2\pi} e^{iqx}f(q) \qquad (8)$$ $$f(q)=\frac{1}{AL}\int_{-L/2}^{L/2} e^{-iqx}f(x){\rm d}x {\overset{AL=1}{\longrightarrow}}\int_{-\infty}^{\infty} {\rm d}x e^{-iqx}f(x) \qquad (9)$$ 这里选$A=L^{-1}$，还可以选$A=L^{-1/2}$。

d维连续变量

考虑函数$f(\mathbf{x})$，其中，$\mathbf{x}$为d维矢量，$\mathbf{x}=(x_1,x_2,\cdots,x_d)$，$\mathbf{x}$为周期函数，

$$f(x_1,x_2,\cdots,x_d)=f(x_1+L_1,x_2+L_2,\cdots,x_d+L_d) \qquad (10)$$ $f(\mathbf{x})$展开成傅立叶级数， $$f(\mathbf{x})=A\sum_{\mathbf{q}} e^{i\mathbf{q} \cdot \mathbf{x}}f(\mathbf{q}) \qquad (11)$$ $$f(\mathbf{q})=\frac{1}{AV}\int e^{-i\mathbf{q} \cdot \mathbf{x}}f(\mathbf{x}){\rm d}\mathbf{x} \qquad (12)$$ 其中，$V=L_1L_2\cdots L_d$，并且 $$\mathbf{q}=(\frac{2\pi}{L_1}n_1,\frac{2\pi}{L_2}n_2,\cdots,\frac{2\pi}{L_d}n_d) \qquad (13)$$ $n_i$为整数。体积趋于无限时， $$f(\mathbf{x})=A\sum_{\mathbf{q}} e^{i\mathbf{q} \cdot \mathbf{x}}f(\mathbf{q}) =AV \int \frac{{\rm d}\mathbf{q}}{(2\pi)^{d}} e^{i\mathbf{q}\cdot \mathbf{x}}f(\mathbf{q}) {\overset{AV=1}{\longrightarrow}}\int \frac{{\rm d}\mathbf{q}}{(2\pi)^{d}} e^{i\mathbf{q}\cdot \mathbf{x}}f(\mathbf{q}) \qquad (14)$$ $$f(\mathbf{q})=\frac{1}{AV}\int e^{-i\mathbf{q} \cdot \mathbf{x}}f(\mathbf{x}){\rm d}\mathbf{x} {\overset{AV=1}{\longrightarrow}}\int {\rm d}\mathbf{x} e^{-i\mathbf{q}\cdot \mathbf{x}}f(\mathbf{x}) \qquad (15)$$ 这里选$A=V^{-1}$，还可以选$A=V^{-1/2}$。