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@joyphys 2013-12-07T06:53:58.000000Z 字数 2497 阅读 1480

傅里叶变换

简述一维和d维连续和离散变量的傅里叶变换。见 Principles of Condensed Matter Physics,pp 97

一维连续变量

考虑函数f(x)x[L/2,L/2],如果f(x)连续或只有有限个第一类间断点,只有有限个极值点,则可以展开成傅立叶级数:

f(x)=qψq(x)f(q)(2)(1)
ψq(x)f(x)满足同样的边界条件。
在物理学中,f(x)常常是周期函数,
f(x)=f(x+L)(2)
那么,相应地,ψq(x)也为周期函数,可取为

ψq(x)=Aeiqx(3)
其中,
q=2πLn,n=0,±1,±2,(4)

A为任意归一化常数,函数eiqx正交完备,于是,

f(x)=Aqeiqxf(q)(5)
f(q)=1ALL/2L/2eiqxf(x)dx(6)
L,求和变积分,
qnΔn=L2πqΔqLdq2π(7)
于是,
f(x)=ALdq2πeiqxf(q)AL=1dq2πeiqxf(q)(8)
f(q)=1ALL/2L/2eiqxf(x)dxAL=1dxeiqxf(x)(9)
这里选A=L1,还可以选A=L1/2

d维连续变量

考虑函数f(x),其中,x为d维矢量,x=(x1,x2,,xd)x为周期函数,

f(x1,x2,,xd)=f(x1+L1,x2+L2,,xd+Ld)(10)
f(x)展开成傅立叶级数,
f(x)=Aqeiqxf(q)(11)
f(q)=1AVeiqxf(x)dx(12)
其中,V=L1L2Ld,并且
q=(2πL1n1,2πL2n2,,2πLdnd)(13)
ni为整数。体积趋于无限时,
f(x)=Aqeiqxf(q)=AVdq(2π)deiqxf(q)AV=1dq(2π)deiqxf(q)(14)
f(q)=1AVeiqxf(x)dxAV=1dxeiqxf(x)(15)
这里选A=V1,还可以选A=V1/2

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