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@joyphys 2015-11-05T05:55:45.000000Z 字数 4272 阅读 8030

电磁学讲义11:安培环路定理

电磁学讲义 Blog


前面我们用积分法计算了电流的磁场,即先算出电流元的磁场,然后把各电流元的磁场加起来,即得整个电流的磁场。计算方法如用积分法计算电荷体系的电场。在静电学部分,我们知道,对于具有一定对称性的带电体系,我们可以通过高斯定理,很方便地算出电场。对于具有一定对称性的电流分布,能否有类似的简便方法?

有,这就是安培环路定理。

对于电场,高斯定理将电场分布和电荷分布联系起来。磁场有没有这样的高斯定理呢?磁场有高斯定理,但是磁场的高斯定理却给不出磁场与电流分布的联系。磁场的环路定理能够给出磁场与电流分布的联系。

高斯定理是关于通量的,环路定理是关于环量的。磁感应强度的环量与电流分布有关。我们从最简单的长直导线电流开始考察。

长直导线电流的安培环路定理

长直导线通以电流I,距离导线r处磁感应强度为:

B=μ0I2πr

磁感线为以导线为中心的同心圆。B⃗ 沿着以导线为中心以r为半径的圆做线积分,积分方向与电流方向满足右手定则,如图1所示。B⃗ 沿此路径的环量为

B⃗ dl⃗ =Bdl=Bdl=μ0I

University Physics, 13th Ed
图1 B⃗ 沿圆周积分,积分方向与电流方向满足右手定则

如果积分方向与电流方向满足左手定则,如图2所示,则(B⃗ 的环量)积分结果为

B⃗ dl⃗ =Bdl=Bdl=μ0I

University Physics, 13th Ed
图2 B⃗ 沿圆周积分,积分方向与电流方向满足左手定则

如果积分路径不包围电流,如图3所示,ab为半径为r1上的一段圆弧,cd为半径为r2上的一段圆弧,在圆弧ab上各点处,B=B1=μ0I2πr1,在圆弧cd上各点处,B=B2=μ0I2πr2,在直线bcda上各点,磁场方向与直线垂直。

University Physics, 13th Ed
图3 B⃗ 沿不包围电流的闭合路径的线积分

B⃗  沿图3中闭合路径线积分(B⃗ 的环量)

B⃗ dl⃗ ==baB1dl+0cbdldcB2dl+0cbdlμ0I2πr1r1θμ0I2πr2r2θ=0

现在我们看一下更一般的路径。如果路径包围电流,如图4所示,B⃗  沿图4中闭合路径的环量为,

B⃗ dl⃗ =Bcosϕdl=Brdθ=μ0I2πrrdθ=μ0I

University Physics, 13th Ed
图4 B⃗ 沿包围电流的一般闭合路径的线积分

如果闭合路径不包围电流,如图5所示,B⃗ 的环量为0,

B⃗ dl⃗ =0

University Physics, 13th Ed
图5 B⃗ 沿不包围电流的一般闭合路径的线积分

安培环路定理

我们以上只讨论了平面内的闭合路径,可以证明以上结论也适用于非平面内闭合路径。还可以证明更一般的情况,对于任意稳恒电流(不必是直导线中的电流),上述B⃗  的环量与电流的关系依然成立。根据叠加原理,当有若干个稳恒电流存在时,合磁场B⃗ 沿任意闭合路径的环量为

B⃗ dl⃗ =μ0Ii

式中Ii 表示环路所包围的电流的代数和,这就是安培环路定理

这里被“环路所包围的电流”指与环路所铰链在一起的电流。

电流的符号的规定,如果积分路径方向与电流方向满足右手定则,则电流为正,否则为负。

张三慧 电磁学
图6 电流回路与安培环路的铰链

如图6所示,安培环路L所包围的电流的代数和为I1I2I3与安培环路没有铰链,I4不在环路内。

张三慧 电磁学
图7 安培环路与2匝电流铰链

如图7所示,安培环路L与2匝电流铰链,因此所包围的电流为2I

安培环路定理里的B⃗ 是所有电流产生的磁感应强度的矢量和,其中包括不被环路所包围的电流所产生的磁场的贡献,只不过它们对环量无贡献。

应用

安培环路定理可以用于计算具有一定对称性的电流分布的磁场分布。

例1 无限长直导线电流的磁场分布。

体系具有柱对称性,以导线为中心做与导线垂直的圆,则圆上各点磁感应强度B⃗ 大小相等,方向沿圆切线方向,于是根据安培环路定理,B⃗ 沿此圆周的环量为

B⃗ dl⃗ =B2πr=μ0I

于是得

B=μ0I2πr

例2 无限长圆柱电流的磁场分布。设圆柱半径为R,总电流为I

体系具有柱对称性,以导线为中心做与导线垂直的圆,圆半径为r,则圆上各点磁感应强度B⃗ 大小相等,方向沿圆切线方向。在导体之外,r>R 根据安培环路定理有

B⃗ dl⃗ =B2πr=μ0I

于是得

B=μ0I2πr

University Physics
图8 圆柱电流的安培环路

在导体之内,

r<R 根据安培环路定理有

B⃗ dl⃗ =B2πr=μ0Ir2R2

于是得

B=μ0Ir2πR

综合以上结果,磁场分布为:

B=μ0Ir2πR,μ0I2πr,r<Rr>R

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图9 圆柱电流的磁场分布

例3 通电螺线管的磁场分布。设单位长度匝数为n,电流为I
如果螺线管非常长(长度远大于截面大小),螺线管外部几乎没有磁场分布,管内磁场近似为匀强磁场,B⃗ 方向与轴线平行。做矩形闭合路径abcd,边abcd与轴线平行,边bcda与轴线垂直。

贾启民 电磁学
图10 长螺线管安培回路

B⃗ 沿此路径的环量为

B⃗ dl⃗ ==baBdl+cbBdl+dcBdl+adBdlBΔl+0+0+0=μ0InΔl

于是

B=μ0nI

对于长直密绕螺线管,管内为匀强磁场。

例4 密绕螺绕环的磁场分布。设匝数为N,电流为I
根据对称性,磁感线是与环共轴的圆。根据安培环路定理,有

B⃗ dl⃗ =B2πr=μ0NI

于是,

B=μ0NI2πr

University Physics
图11 螺绕环安培环路

如果螺绕环半径很小,则上式中r与环的平均半径相差不大,于是N2πrn,环内

B=μ0nI

螺绕环内磁场可视为大小均匀的磁场。

由安培环路定理易知,螺绕环外磁场为0。

作业

习题 2-16,2-17

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