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@joyphys 2015-07-07T06:53:26.000000Z 字数 5080 阅读 1887

插播数学2:积分

物理理论最低基础 Blog


“乔治,我干事喜欢反着来。微分能反着来吗?”
“当然可以,莱尼,那就是积分。”

积分

微分处理的是变化率。积分做的是把许许多多微小的增量加起来求和。乍一看,微分与积分毫无关系,其实它们密切相关。

我们先画一个函数f(t)的图,如图1所示。

积分的中心问题是计算函数f(t)曲线下面的面积。为了使这个问题显得更清楚,我们考虑一段函数,如t=at=b之间的函数,选取的自变量这两个值称为积分限。我们要计算图2中阴影部分的面积。

要计算这个面积,我们把阴影部分分成很多很多纤薄的矩形(如图3),把这些小矩形的面积加起来,就是我们要求的面积。

当然,这样得到的是近似结果,但是,当矩形的宽度趋于0,我们将得到准确结果。下面说一下计算步骤。第一步,把t=at=b之间的区域分成N个次区域,每个次区域的宽度为Δt。对于某个t处的小矩形,宽为Δt,高为此处的函数值f(t),于是可得此处小矩形的面积为

δA=f(t)Δt

把所有的这些小矩形的面积加起来,就得到要求的阴影部分面积的近似值,

A=if(ti)Δt

其中的大写希腊字母Σ表示求和,即把一系列用i标记的值加起来。比如N=3,就有
A=if(ti)Δt=f(t1)Δt+f(t2)Δt+f(t3)Δt

这里ti表示第i个小矩形在t轴上的位置。

Δt趋于0,小矩形数目N趋于无穷,求出此时小矩形面积和的极限,此即为要求的面积的准确值,也即是f(t)定积分的定义,写为下式:

A=limΔt0if(ti)Δt=baf(t)dt

积分符号取代了求和符号,dt取代了Δt,积分符号里面的函数f(t)称为被积函数

把上式中的b,换成T,得到这样一个积分,

Taf(t)dt

T看成一个变量,上式这个积分就是变量T函数(注意不是t的函数):
F(T)=Taf(t)dt

由一个给定的函数f(t),定义出一个新的函数F(T)。前面的a也是可以变的,这里我们不考虑这种情况。这个新的函数F(T)称为f(t)不定积分。称为不定积分,因为我们不是从一个固定值积分到另一个固定值,而是积分到另一个变量。对于不定积分,我们通常不写上下限,写为如下形式:

F(t)=f(t)dt(1)

微分和积分之间有深刻联系,如果F(t)=f(t)dt,则有

f(t)=dF(t)dt

这个联系就叫做微积分基本定理,下面我们说明一下这个结果的由来。变量T有个小的增量,从T变到T+Δt,于是有个新的积分,
F(T+Δt)=T+Δtaf(t)dt

即在图3阴影部分t=T处新加了一块宽为Δt矩形,于是差F(T+Δt)F(T)即为多出来的这块小矩形的面积,
F(T+Δt)F(T)=f(T)Δt

两边除以Δt
F(T+Δt)F(T)Δt=f(T)

取极限Δt0,有:
limΔt0F(T+Δt)F(T)Δt=dFdT=f(T)

换一下变量的符号,则有
dF(t)dt=f(t)

这说明,积分和微分是逆运算,积分的导数即原被积函数。

知道F(t)的导数是f(t)就能完全确定F(t)吗?还不能完全确定,因为F(t)加上一个常数不改变它的导数。给定一个函数f(t),它的不定积分的函数形式是不定的,如果F(t)f(t)的不定积分,F(t)加上任意常数之后,F(t)+C也是f(t)的不定积分。

下面我们说明一下微积分基本定理的应用。比如我们计算函数f(t)=tn的积分,

F(t)=f(t)dt

根据微积分基本定理,有
f(t)=dF(t)dt


tn=dF(t)dt

现在的任务就是找到一个函数F(t),它的导数是tn,这不是难事。

我们在上一章就已经知道,

d(tm)dt=mtm1

m=n+1,则有
d(tn+1)dt=(n+1)tn

两边除以n+1,有
d(tn+1/n+1)dt=tn

因此,tntn+1n+1的导数,所以,
F(t)=tndt=tn+1n+1

再加上任意的常数,就得到tn的不定积分,
tndt=tn+1n+1+C

积分常数C需要其他的条件来确定。

出现这个任意的常数是因为积分的一个积分限没有确定。如果我们选定另一个积分限,即前述的a,由a就可以确定常数C。考虑积分

Taf(t)dt

当两个积分限为同一点,即 T=a,积分必为0,由此可确定积分常数C

一般情形下的微积分基本定理写为如下形式:

baf(t)dt=F(t)ba=F(b)F(a)(2)

另外一个表述方式是
dfdtdt=f(t)+C(3)

即对函数的导数积分得到原来的函数(加上一个任意常数)。

以下是几个有用的积分公式:

Cdt=Ct+C
(注:原文漏掉第二个常数C
Cf(t)dt=Cf(t)dt

tdt=t22+C

t2dt=t33+C

tndt=tn+1n+1+C

sintdt=cost+C

costdt=sint+C

etdt=et+C

dtt=lnt+C
(注:原文漏掉常数C
[f(t)±g(t)]dt=f(t)dt±g(t)dt

练习1:求下列函数的不定积分:
f(t)=t4
f(t)=cost
f(t)=t2a
练习2:取积分限分别为t=0t=T,应用微积分基本定理重新计算练习1中的积分
练习3:把练习1中的函数视为一个粒子的加速度的表达式,积分一次,得到粒子的速度,再积分一次,得到粒子的轨迹。wom我们取t为积分限,把函数的哑变量改为t,将函数从t0积分到t=t
v(t)=t0t4dt
v(t)=t0costdt
v(t)=t0(t2a)dt

分部积分

计算积分可以查表,或者用数学软件Mathematica。如果不得不手算,有个古老的技巧,非常有用,这就是分部积分。我们曾在上一章讲过两个函数的积的导数:

d[f(x)g(x)]dx=f(x)dg(x)dx+g(x)df(x)dx

对上式两边进行积分,从x=a积到x=b
d[f(x)g(x)]dxdx=f(x)dg(x)dxdx+g(x)df(x)dxdx

上式的左边比较容易,函数导数的积分是函数本身,即上式的左边为
f(b)g(b)f(a)g(a)

常写为如下形式:
f(x)g(x)|ba

现在把右边其中一项移到左边,
f(x)g(x)|baf(x)dg(x)dxdx=g(x)df(x)dxdx(4)

(注:前面这两个积分号里原文都漏掉dx
现在考虑计算一个积分,被积函数恰好是一个函数f(x)与另外一个函数g(x)的导数的积,即方程(4)右边的形式,如果直接积分没办法算,可以转换成方程(4)左边的形式,如果运气好,左边的积分f(x)dg(x)dxdx我们会算,那么方程(4)右边的积分也就算出来了。(注:原文这里把左右搞反了)

下面我们举个例子。比如计算如下积分:

π/20xcosxdx

注意到
cosx=dsinxdx
,于是要求的积分变成
π/20xdsinxdxdx

根据方程(4),上式结果为:
xsinx|π/20π/20dxdxsinxdx

也即
xsinx|π/20π/20sinxdx

π/20sinxdx我们会算,它等于cosx,(注:原文这里漏掉了负号)那么剩下的事情比较容易了,请自己完成。

练习4:完成积分π/20xcosxdx的计算

你可能会问,分部积分这个技巧很常用吗?答案是:很常用,但不是每次都好用,看运气了。

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