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@joyphys 2015-06-16T02:46:25.000000Z 字数 2226 阅读 2075

夫琅禾费单缝衍射

光学与原子物理


研究宽度为b的无限长单缝产生的夫琅禾费衍射图样。假设一列平面波垂直入射到单缝上,现在需要计算透镜焦平面上的屏上的强度分布。缝可以看做是由大量等间距的点光源组成,并且认为,缝上每一点都是一个惠更斯子波源,它们发出的子波互相干涉。设点光源A1A2A3,并设相邻点光源的间隔为Δ,如下图所示。
夫琅禾费衍射,假设缝是由大量的等间距的点源组成
如果点光源的数目为n,则

b=(n1)Δ

现在需要计算n个点光源在点P的总叠加场。点P是透镜焦平面上任意一点,此点所能接收的平行光与狭缝法线的夹角为θ。实际上缝是由连续分步的点光源组成,所以在最后的结果表达式中,将是n趋于无穷大,Δ趋于零,并保持nΔ趋于b

A1A2A3到点P的距离比缝宽b是很大的,所以,从这些点达到点P的振动的振幅几乎完全相等。但是,虽然它们到点P的距离只有微小的差别,但是相位差不可忽略。

对于垂直入射的平面波,在点A1A2A3是同相位的。点A2发出的波与点A1发出的波的光程差为A2A2¯¯¯¯¯¯¯¯

A2A2¯¯¯¯¯¯¯¯=Δsinθ

相应的相位差
ϕ=2πλΔsinθ

同理,相邻点发出的相位差也是ϕ。如果点A1发出的波在点P产生的场E0cosωt,因此,各点在点P产生的合振动为
E=E0{cosωt+cos(ωtϕ)++cos[ωt(n1)ϕ)]}

如下图可计算点P处的合振动
N个同方向同频率简谐振动的合成
计算结果为
E=E0sin(n1)ϕ2sinϕ2cos[ωt(n1)ϕ/2]

也可以用复数法得到上述结果。
E˜=E0eiωt[1+eiϕ++ei(n1)ϕ]=E0eiωt1einϕ1eiϕ

=E0einϕ/2einϕ/2eiϕ/2eiϕ/2einϕ/2eiϕ/2eiωt

=E0sin(n1)ϕ2sinϕ2e{i[ωt(n1)ϕ2]}

P处,合振幅

EP=E0sin(n1)ϕ2sinϕ2E0sin(n1)ϕ2ϕ2=(n1)E0sin(n1)ϕ2(n1)ϕ2

n(n1)Δb情况下,
(n1)ϕ2=π(n1)Δsinθ/λπbsinθ/λ

β=πbsinθ/λ,因此有点P处的振动为

E=(n1)E0sinββcos(ωtβ)

光强
I=I0sin2ββ2

其中,I0θ=0处的光强。

极大值与极小值的位置

极小值的位置由下述关系给出

β=kπ


bsinθ=kλ,k=±1,±2,

极大值由以下超越方程的根给出

tanβ=β

夫琅禾费单缝衍射强度分布和极大值点见下图

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