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@joyphys 2015-09-24T00:38:20.000000Z 字数 5230 阅读 3758

电磁学讲义4:连续带电体的电场

电磁学讲义 Blog


任意形状带电体

点电荷是一种理想模型,只有当场点到带电体距离比带电体本身的线度大得多的时候,源电荷才可以看做点电荷。当考察带电体附近的电场的时候,带电体就不能看做点电荷,必须考虑带电体的大小和形状,以及电荷在带电体上的分布。对于任意形状的带电体,可以把带电体分割成很多很小的电荷元 dq,每一个电荷元可以看做一个点电荷,则每个电荷元独自产生的电场为

dE⃗ =14πε0dqr2r^

式中 r 为 电荷元 dq 到场点的距离,r^ 为电荷元指向场点的单位矢量。

贾启民 PDF 30
图为电荷元在 P 点产生的电场

根据叠加原理,整个带电体在场点产生的电场为:

E⃗ =dE⃗ =14πε0dqr2r^

在上面的讨论中,已经认为电荷在带电体上是连续分布的,但是我们前面讲过,电量是量子化的,是不连续的,这不矛盾吗?宏观带电体的电量包含着极大量的基元电荷,因此在宏观范围内,可以认为电荷是连续的“粘”在带电体上,不需要考虑电荷的不连续性。

根据不同的情况,有时可以把电荷看成在一定体积内连续分布(体分布),有时可以把电荷看成在一定平面内连续分布(面分布),有时可以把电荷看成在一定曲线上连续分布(线分布),等等,与此相应,可以引入电荷的体密度、面密度、线密度。

电荷体密度就是单位体积内的电量,取一体积元 ΔV,此体积元内的电量为 Δq,则电荷体密度为:

ρ=limΔV0ΔqΔV=dqdV

这里ΔV0 与 数学上的 ΔV 趋于0的意义是不同的。在物理上,ΔV0 表示宏观上足够小,而在微观上又足够大,包含有大量的基元电荷。

电荷面密度为:

σ=limΔS0ΔqΔS=dqdS

电荷线密度为:

η=limΔl0ΔqΔl=dqdl

同样地,这里 ΔS0Δl0 也表示宏观上足够小,而在微观上又足够大。

例题

例1 求均匀带电细棒中垂面上的场强分布,设棒长为2l,电量为 q
选细棒中点 O 为坐标原点,沿细棒向上为 z 轴。选细棒中垂面上一点 P,到细棒距离为 r,由对称性可知,P 点场强沿垂直细棒的方向。

赵凯华 电磁学
图为求均匀带电细棒中垂面上的场强分布

z 处电荷元在 P 点处场强沿 OP¯¯¯¯¯方向的分量为

dE=14πε0dqr2+z2cosα=14πε0ηdzr2+z2rr2+z2

P点处场强为:

E==dE=η4πε0llr(r2+z2)3/2dz=ηl2πε0rr2+l2q4πε0rr2+l2

讨论:
1. 当场点距离细棒非常远的时候,rl,此时,E=q4πε0r2,细棒可以看做点电荷。
2. 当场点距离细棒非常近的时候,rl,此时,E=η2πε0r

例2 求均匀带电圆环轴线上的电场,圆环半径为 R,电量 q


图为均匀带电圆环轴线上一点的场强

电荷元 dqP 点的场强:

dE⃗ =14πε0dqr2r^

根据对称性,均匀带电圆环在 P 点的合场强沿 x 轴方向,如下图:


对称的电荷元在P点的场强,垂直对称轴的分量抵消,只留下平行对称轴的分量。

均匀带电圆环在 P 点产生的电场为:

E⃗ ==i^dEcosθ=14πε0dqx2+R2xx2+R2i^i^4πε0x(x2+R2)3/2dq=i^4πε0qx(x2+R2)3/2

讨论:
1. 当 x=0时,E=0,根据对称性能猜到的结果。
2. 当场点距离圆环非常远的时候,xRE=14πε0qx2,这正是点电荷的电场。

例3 均匀带电薄圆盘轴线上的电场强度
半径为 R,电量为 q,电荷面密度为 σ=qπR2。把带电圆盘分割成一系列宽为 dr 的带电圆环,把每个带电圆环看做电荷元,电荷元电量 dq=σ2πrdr,电荷元在 P 点产生的电场为

dE⃗ =i^4πε0dqx(x2+R2)3/2


将带电薄圆盘分割成一系列圆环

带电薄圆盘在 P 点处的电场强度为:

E⃗ ===dE⃗ =i^4πε0x(x2+r2)3/2dqi^σx2ε0R0r(x2+r2)3/2drσx2ε0(1x21x2+R2)i^

讨论:
1. 当场点非常靠近圆盘时,xRE=σ2ε0,这是无限大均匀带电平面附近的电场分布。
2. 当场点距离圆盘非常远时,xR,电场可化为:

E=σ2ε01(1+R2x2)1/2

xR 时,

(1+R2x2)1/2112R2x2

于是有

E=σ4ε0R2x2=14πε0qx2

正是点电荷的电场分布。

例题3另一种解法。
用极坐标处理带电圆盘,取面积元 dS=rdrdθ,则电荷元 dq=σdS=σrdrdθ,由于对称性,可以只考虑电荷元在 P 点处的场强 x 分量,

dEx=14πε0xdq(x2+r2)3/2=14πε0xσrdrdθ(x2+r2)3/2

带电圆盘在 P 点处的场强为:

E==dEx=σx4πε0R0rdr(x2+r2)3/22π0dθσx2ε0R0r(x2+r2)3/2dr

剩余计算过程与前述方法一样。

作业

作业:习题1-11
科研训练:1 检索文献资料,了解均匀带电圆环的电场分布的计算。2 检索文献资料,找出一种还未被研究过或研究不完全的特殊形状的带电体,计算其电场分布。

参考资料

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