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@joyphys 2015-03-04T12:10:00.000000Z 字数 1589 阅读 2272

费马原理

光学与原子物理


光线

光是电磁波,所有光学现象都能有电磁波的概念来理解。但是很多现象,如光的直线传播、反射、折射等,利用光线的概念,用几何的方法来研究,更为方便,此即为几何光学。

在几何光学领域研究光的传播需要用到光线的概念。什么是光线?光线不是用光阑从光束中分出来的一个狭窄部分。如图,一个圆形光阑放在电光源P之前。
一个电光源发出的光经过一个圆孔,如果圆孔直径远远大于波长,则屏幕上形成界限分明的光斑

当光阑直径相当大时(比如1cm),则在屏幕SS‘上可以看到界限分明的圆形光斑。减小光阑的尺寸,刚开始,光斑的尺寸也随之减小,但是当光阑尺寸非常小(比如<0.1mm),屏幕上的图样就不再是界限分明的,这就是衍射现象,这是光波长λ为有限值的直接结果,并且,衍射效应将随着波长的减小而减小。如果λ0,即使光阑尺寸极其小,屏幕上也有界限分明的影子。因此当波长趋于0时,可以获得无限细的一束光,叫做光线。即光线是波长趋于0的极限下能量的传播路径。光波长的数量级在105cm量级,这与透镜、反射镜等通常的光学仪器的尺寸比起来非常小,从而在许多应用张可以忽略波长的有限大小,如果只考虑光的传播方向问题,可以不考虑位相,可以应用光线这一概念。借助于光线这一概念,应用某些基本实验定律,就可以进行一切必要的计算而不必涉及光的本性的问题。以几何定律和某些基本实验定律为基础的光学称为几何光学。

基本实验定律

费马原理

科学的荣耀在于对极端丰富的现象给予简要的的概括。几何光学里有非常丰富的现象,可以用费马原理概括:

光沿用时最短的路径,从一点行进到另一点。

这一表述有漏洞,正确的表述为

光沿用时为平稳值的路径,从一点行进到另一点。

这是什么意思?
光在真空中传播距离s所需要的时间为

t=s/c

如果是在折射率为n的介质中传播距离s所需要的时间为
t=s/v=ns/c

如果光经过m种不同的介质,在第i种介质中走过的路程为si,则所经历的时间为
t=s1v1+s2v2++smvm=i=1msivi=1ci=1mnisi

若折射率连续变化,求和变成积分
t=1cnds

折射率与路程的乘积定义为光程

L=i=1mnisi

若折射率连续变化,求和变成积分
L=nds

光走过的路径,应满足光程的变分为0:

δL=δnds=0

我们现在还没有办法详细解释“变分”的含义,粗浅一点理解,类似函数的微分。
变分之于泛函,就相当于微分之于函数。而泛函则是函数的函数(以函数为自变量的特殊的函数),因为光线的路径本身是函数,而光程又是路径这个函数的函数,因此光程是泛函。所谓一阶变分为零,其实就和一阶导数为零意思相近。

从费马原理推导几何光学基本实验定律

推导均匀介质中光沿直线传播定律

均匀介质即介质的折射率在任何一点都是常数。两点间的所有可能连线中,线段最短——光程取极小值。

推导反射定律

见书

推导折射定律

见书

透镜等光程性

留在以后讲
物点Q与像点Q‘之间的光程总是平稳的,即不管光线经何
路径,凡是由Q通过同样的光学系统到达Q’的光线,都是
等光程的。

椭球面反射

对椭球面,光程为稳定值
对PMQ面,光程为极大值
对SMP面,光程为极小值
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