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@joyphys 2015-12-10T00:50:36.000000Z 字数 5855 阅读 3717

电磁学讲义17:电介质

电磁学讲义 Blog


电介质

电介质就是绝缘体。电容器两极板之间往往夹有电介质。这样做的好处是,一提高电容器的力学稳定性。二是增加两极板之间的最大容许电势差,以免电容器被击穿。一般而言,电介质的击穿电压高于空气。三是,能提高电容器电容。电容器插入电容器后,电容器两极板之间的电压会减小,如图1所示。


图1 将电介质插入电容器后,两极板间电压减小

电介质插入前后,电容器两极板间电势差分别为,二者的比值为

电容比值为

常数相对介电常数,也称相对电容率,这是一个无量纲的数。真空的相对介电常数定为1,空气的相对介电常数为1.0006,非常接近1。

极化

电容器极板间插入电介质,两极板电势差减小,说明两极板间的电场减弱了。对于平行板电容器,电介质插入前后的电场的关系为:

电场变小,说明表面电荷密度也要变小,极板上的电荷不会发生变化,但是会在电介质上表面诱导出相反电荷。电介质是电中性的,放入电容器之间仍然会保持为电中性,但是会重现排布电介质内的电荷,这种现象叫做极化

一个中性分子所带正电荷与负电荷的量值总是相等的。但一般情况下,每个分子内的正、负电荷都不是集中在一点而是分布在分子所占体积之中的,线度为数量级内的体积。

有些电介质的分子的等效正、负电荷中心不重合的电介质称为有极分子电介质。如 HCl 、 H2O、CO、SO2、NH3、……。其分子有等效电偶极子,它们的电矩称作分子的固有电矩。


图2 有极分子

有些电介质的分子的等效正、负电荷中心重合的电介质称为无极分子电介质,分子的固有电矩为 0 ,如所有的惰性气体及CH4等。


图3 无极分子

无外电场时,无极分子电介质固有电矩为零,呈电中性。对有极分子电介质,因其无规则热运动,每个分子的固有电矩的取向都是杂乱无章的,故在介质内任取一个小体积元,各个分子电矩的矢量和必定为零,也呈电中性。

)
图4 无外场时,无极分子和有极分子都呈电中性

对于无极分子,在外电场作用下,分子正电中心和负电中心发生相对位移,形成附加分子偶极子,此称为位移极化


图5 无极分子位移极化

有极分子在外场中发生偏转而产生的极化称为取向极化


图6 有极分子取向极化

由于极化,在介质表面产生的电荷称为极化电荷。由于这种电荷不能移动,被束缚在介质表面,不能与导体板上的电荷中和,故又称为束缚电荷。这种电荷是施加外电场产生的,因此又叫做诱导电荷

极化电荷也会产生一个电场。

下面我们看下平行板电容器间极化电荷面密度与极板上的电荷面密度的关系,它们分别产生的电场为,总的电场为二者的叠加,


图7 平行板电容器间的退极化场

于是有

极化强度矢量

电介质放入电场以后,电介质的分子会发生位移极化或取向极化,产生附加电场,附加电场又会对电介质分子产生作用,进一步改变极化程度,这种相互作用和相互影响直到达到平衡为止。所以说,电介质的极化会持续一定时间的。

电介质的极化程度与每个分子的电偶极矩有关,还与电偶极矩排列的整齐程度。为了描写极化程度,我们引入极化强度矢量,定义为电介质内单位体积内分子电偶极矩矢量和:

式中为宏观上无穷小的体积元,为体积元内分子电偶极矩矢量和。

电介质未被极化时,,对于无极分子,因为,对于有极分子,,但

极化强度与极化电荷密切相关。

先考虑均匀电介质,即分子的数密度处处相等,极化也是均匀的,且电场也是均匀的,假定分子电偶极矩都沿电场方向排列,如图8所示。在电介质内部,电偶极子首尾相接,电荷效应互相抵消,但是在电介质表面,一边聚集电偶极子的头,一边聚集电偶极矩的尾,因而电介质表面上有了电荷分布。这种电荷是因为电介质极化而产生的,故称为极化电荷。

电磁学(贾起民 第二版 2001)
图8 均匀极化电介质表面的极化面电荷

对于两种不同的(包括组分相同但密度不同的情况)均匀电介质,除了电介质表面出现计划电荷外,两种介质的界面上也会出现极化电荷,如图9所示。

电磁学(贾起民 第二版 2001)
图9 两种均匀极化电介质界面处的极化面电荷

如果电介质是由很多很多均匀电介质小块“混合”而成的,如果小块非常小,以致整个介质内部处处都有界面,在界面上有面电荷分布,结果在介质内部实际出现了体分布的极化电荷。这种由无限多种(包括密度不同)的电介质组成的电介质实际上就是非均匀电介质。所以,非均匀电介质极化后,不但在电介质表面有极化电荷分布,电介质内部也有极化电荷分布。

考虑一种已经极化的电介质,在其内部取体积为的一块介质作为研究对象,这块介质的表面为,如图10所示。显然,完全处在体积内的电偶极子对内的净电荷没有贡献,全部位于之外的电偶极子当然对内的净电荷也没有贡献。对内的净电荷有贡献的电偶极子是那些被面截断的电偶极子。


图10 包围在闭合曲面内的极化电荷取决于被面所截的电偶极子

下面我们计算被面截断的电偶极子的数目。在面上取面积元,面积元的外法向单位矢量为。面积元上各点可以认为极化强度矢量相同,分子的偶极子都有相等的,因此有相等的电偶极矩,且平行,与夹角为。在面积元两侧对称地做一斜柱体,如图11所示。显然,中心位于斜柱体内的电偶极子都被面积元所截。斜柱体的体积为,设单位体积内电偶极子数目为,因此被面积元所截的电偶极子数目为,在体积内贡献的电量为

上式中的负号可按如下考虑:当为锐角时,被截的偶极子把负电荷留在体积内,因此需要加一负号才可以使。同样可分析为钝角的情况。

梁灿彬
图11 被面元所截的电偶极子

上式对整个闭合曲面积分,即得体积内极化电荷的净电量:

即电介质内部任意体积内极化电荷的净电量等于极化强度对包围的闭合曲面的通量的负值。

有电介质时的高斯定理

当外电场中存在电介质时, 由于极化将引起周围电场的重新分布。 这时空间任一点的电场将由自由电荷和束缚电荷共同产生,电场与电荷满足高斯定理:

由于介质中的束缚电荷难以测定, 即使满足对称性要求, 仍很难用上式求出电场强度。

我们以平行板电容器为例,说明有电介质时的高斯定理。如图所示,做高斯面,根据高斯定理,有


图12 有电介质时的高斯定理

于是,有

引入电位移矢量 ,则有

上式可推广至一般情况:

这正是有电介质时的高斯定理。通过高斯面的电位移通量等于高斯面所包围的自由电荷的代数和, 与极化电荷及高斯面外电荷无关。

下面我们用更严格的方式,给出有电介质时的高斯定理。

极化强度由电介质内的总电场决定,而总电场是外电场和极化电荷的电场的矢量和:

对于各向同性线性介质,极化强度与总场强成线性关系:

其中称为极化率,与场强无关,是电介质材料本身的性质,反映了电介质极化难易的程度。极化率是个无量纲的数。

有电介质存在的时候,库仑定律,也即高斯定理,依然成立,只不过计算总电场的电通量时,应计及高斯面内的自由电荷和极化电荷

于是,有

引入物理量:

称为电位移矢量叫做相对介电常数。有电介质时的高斯定理为:

例 在半径为的金属球之外有一层半径为的均匀介质层,设电介质相对电容率为,金属球带电量为 。求(1)求电场分布,(2)求电势分布


图13 例题图

根据高斯定理,

于是有,

介质内电场:

介质外电场:

介质内电势

介质外电势

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