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@joyphys 2015-10-01T13:12:30.000000Z 字数 1706 阅读 1992

证明ln2=0 和 2=1

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课程讲义:Be careful when manipulating conditonally convergent series

级数求和一定要注意收敛条件,否则会得到很荒谬的结论,比如可以证明 ln2=0 和 2=1

我们知道下式成立:

ln(1+x)=xx22+x33x44+(1)

所以有:

ln2=112+1314+(2)

现在我们来证明 ln2=0

ln2=====112+1314+1516+(1+13+15+)(12+14+16+)(1+13+15+)+(12+14+16+)2(12+14+16+)(1+12+13+14+15+)(1+12+13+14+15+)0

得证。

现在我们来证明 2=1

已知:

ln2=112+1314+1516+1718+19110+

两边乘以 2,有:

2ln2===21+2312+2513+2714+2915+112+1314+15+ln2

所以有:

2=1

以上这两个荒谬的结论的证明,哪里出了问题?

问题在于 ln(1+x) 展开成的级数方程(1)不是绝对收敛的,而是条件收敛的,条件收敛的级数是不可以任意调整级数各项的位置的。

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