电磁学讲义6：高斯定理计算电场

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高斯定理是电场力平方反比定律和线性叠加原理的直接结果。也可以由高斯定理作为基本规律导出库仑定律。这说明高斯定理和库仑定律是不同形式的表示电荷和电场关系的同一规律。库仑定律可以使我们从电荷分布求出电场分布，高斯定理可以使我们从电场分布求出电荷分布。

对于具有一定对称性的电荷体系，也可以由高斯定理求出电场分布，并且比库仑定律更为简便。

对称的电荷体系可以分为三类：球对称、柱对称和平面对称。根据电荷的对称分布，确定电场$\vec{E}$ 的方向，然后假想一个合适的高斯面（$\vec{E}$ 与 $\mathrm d\vec{S}$平行或垂直），根据高斯定理算出电场的大小。

球对称

例1 均匀带电球壳的电场分布。设球壳带电总量为$Q$，半径为$R$。

图为均匀带电球壳

电荷分布具有球对称性，因此电场分布也具有球对称性。把均匀带电球面转一个角度，电荷分布与原来一样，如果电场分布不具有球对称性，均匀带电球面转动一个角度之后，电场分布将会改变，这是物理上不可能的。

最合适的高斯面为与球壳的同心球面，在这样的同一高斯面上，电场大小相等，方向沿径向。因此通过高斯面的电通量为：

$$\begin{equation*} \Phi_E=\oint_S \vec{E}\cdot \mathrm d\vec{S}=E\oint_S\mathrm dS=4\pi r^2 E \end{equation*}$$

如果$r>R$，

$$\begin{equation*} \Phi_E=4\pi r^2 E=\frac{Q}{\varepsilon_0} \end{equation*}$$

即

$$\begin{equation*} E=\frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 r^2} \end{equation*}$$

带上方向：

$$\begin{equation*} \vec{E}=\frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 r^2}\hat{r} \end{equation*}$$

这说明均匀带电球壳在外部空间产生的电场，与电荷集中在球心的点电荷产生的电场是一样的。

如果$r>R$，

$$\begin{equation*} \Phi_E=4\pi r^2 E=0 \end{equation*}$$

即

$$\begin{equation*} E=0 \end{equation*}$$

这说明均匀带电球壳在内部空间产生的电场处处为0。

均匀带电球壳的电场分布如下图所示：

图为均匀带电球壳的电场分布

可以看出电场$\vec{E}$ 在$r=R$处不连续，这是因为在$r=R$处，带电薄层不能看成带电面。

例2 求均匀带电球体的电场分布。

设带电球体电量为$Q$。

图为均匀带电球体

球外$r>R$，结果与例1 相同。

$$\begin{equation*} \vec{E}=\frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 r^2}\hat{r} \end{equation*}$$

球内$r<R$，

$$\begin{equation*} \Phi_E=\oint_S \vec{E}\cdot \mathrm d\vec{S}=E\oint_S\mathrm dS=4\pi r^2 E=\frac{1}{\varepsilon_0}\frac{4\pi r^3}{3}\frac{Q}{\frac{4\pi R^3}{3}}=\frac{Qr^3}{\varepsilon_0 R^3} \end{equation*}$$

$$\begin{equation*} \vec{E}=\frac{Qr}{4\pi\varepsilon_0 R^3}\hat{r} \end{equation*}$$

均匀带电球体的电场分布如下图所示：

图为均匀带电球体的电场分布

圆柱对称

例3 求无限长均匀带电细棒的电场分布。

设带电线密度为$\eta$。

体系具有轴对称性，即在任何垂直于轴的平面内的同心圆周上的场强的大小都是一样的，方向沿径向。高斯面可取如图所示圆柱面。

图为无限长均匀带电细棒及高斯面选取

电场通过此圆柱面的通量为：

$$\begin{equation*} \begin{split} \Phi_E=&\oint_S \vec{E}\cdot\mathrm d\vec{S} =\int_{side}\vec{E}\cdot\mathrm d\vec{S}+\int_{top}\vec{E}\cdot\mathrm d\vec{S} +\int_{bottom}\vec{E}\cdot\mathrm d\vec{S}\\ =& 2\pi r h E+0+0=\frac{\eta h}{\varepsilon_0} \end{split} \end{equation*}$$

于是，

$$\begin{equation*} E=\frac{\eta}{2\pi\varepsilon_0 r} \end{equation*}$$

平面对称

例4 求无限大均匀带电薄板的电场分布。

设电荷面密度为 $\sigma$。

由对称性知，两侧距平板等距离处场强大小相等，方向处处与平板垂直，高斯面选取如下图圆柱面，圆柱面底面与带电平面平行。

图为无限大均匀带电薄板及高斯面选取

电场通过高斯面的电通量为

$$\begin{equation*} \Phi_E=2EA=\frac{\sigma A}{\varepsilon_0} \end{equation*}$$

$$\begin{equation*} E=\frac{\sigma }{2\varepsilon_0} \end{equation*}$$

作业

习题 1-14,1-16,1-20