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@joyphys 2015-10-19T05:10:01.000000Z 字数 10130 阅读 2239

电磁学讲义7:电势

电磁学讲义 Blog


保守力与势能

一个带有电量q质量为m的带电物体,置于任意的电场E⃗ (r⃗ )中,会如何运动?按照牛顿第二定律运动:

md2r⃗ dt2=qE⃗ (r⃗ )

这个问题有更方便的方法——能量守恒。

考虑如下问题,一个物体沿无摩擦曲面下落,对于这一过程,动能 T 和重力势能 W总量保持不变,即:

T+W=C(1)

费曼物理学讲义

方程(1)可以从牛顿定律导出。

dTdt=mvdvdt=Ftv=mgsinθdsdt=mgdhdsdsdt

于是有

dT+mgdh=0

积分之后,即得方程(1)

下面我们看三维情况。

dTdt=12mv⃗ dv⃗ dt+12mdv⃗ dtv⃗ =mdv⃗ dtv⃗ =F⃗ v⃗ =F⃗ dl⃗ dt

于是有

dT=F⃗ dl⃗ 

两边积分,有

ΔT=r⃗ 2r⃗ 1F⃗ dl⃗ 

左边是动能的变化量,右边是外力做的功,右边的积分沿着物体运动路径进行积分。

对于物体从光滑曲线上下滑这个例子,物体所受约束力不做功,只有重力做功,做功为

r⃗ 2r⃗ 1F⃗ dl⃗ =z2z1mgdz=mg(z1z2)

这说明重力做功与具体路径无关,只与初末位置有关,这样的力我们称为保守力。除了重力,还有很多力是保守力,比如胡克弹簧施加的力,万有引力等等。也有很多力不是保守力,比如摩擦力、洛伦兹力(二者都是依赖于速度的力)。

下面我们举一个不是保守力的例子

F⃗ =yi^

路径1为从原点沿x轴到(1,0)点,然后沿平行y轴方向到(1,1)点。
路径2为从原点沿y轴到(0,1)点,然后沿平行x轴方向到(1,1)点。

对于保守力,做功与路径无关,只与初末位置有关,物体在某保守力F⃗ 作用下从r⃗ 1运动到r⃗ 2,保守力做功

A12=r⃗ 2r⃗ 1F⃗ dl⃗ =W(r⃗ 1)W(r⃗ 2)=ΔW=ΔT=T2T1

函数W(r⃗ )称为保守力的势能。物体运动过程中,动能T与势能W之和保持不变。

保守力与它对应的势能之间有什么关系?

假设我们已经知道势能的函数形式W(x,y,z),现在让物体沿x轴做个很小的移动Δx,保守力做功

FxΔx=ΔW

于是力为

Fx=ΔWΔx

显然这个式子是不严格的,只有在Δx0时才成立,这正是Wx的微商dW/dx,但是要注意,我们只考虑了x的变化,yz是不变的,所以这里的微商应为偏导。于是,我们得到保守力的x分量是势能Ux的负的偏导,即

Fx=Wx

同样,力的其他分量与势能的关系为

Fy=Wy

Fz=Wz

所以保守力与势能的关系为

F⃗ =i^Wxj^Wyk^Wz=(i^xj^yk^z)W=W

其中 为一个运算符号,作用到一个标量函数上,得到函数的梯度

这样的力做的功真的与路径无关吗?不妨计算一下。

A12===r⃗ 2r⃗ 1F⃗ dl⃗ =r⃗ 2r⃗ 1(Fxdx+Fydy+Fzdz)r⃗ 2r⃗ 1(Wxdx+Wydy+Wzdz)r⃗ 2r⃗ 1dW=W(r⃗ 1)W(r⃗ 2)

确实与路径无关,只与初末位置有关。

练习1 求势能函数W(x,y,z)=x3y2+sinz对应的保守力。

保守力有什么特点呢?根据偏导的性质,有

Fxy=FyxFxz=FzxFyz=Fzy

如何判断一个力是不是保守力?一个方法是看看这个力是不是某个标量函数的负的梯度,另外一个方法是对这个力的各分量求偏导。当然也可以由保守力定义来判断,将力沿连接初末位置的任意路径积分,看积分结果是不是只依赖于初末位置,或者沿任意闭合路径积分,看积分结果是不是0。

比如重力F⃗ =mgk^,弹簧 F⃗ =kxi^,三种判断方法都很方便,练习1中的力用偏导法或积分法很方便。

静电力是保守力

先讨论一个点电荷q产生的电场,另一点电荷q0在此电场中受力为

F⃗ =14πε0qq0r2r^

在极坐标系中,容易看出,此力是如下函数的负的梯度

W(r)=14πε0qq0r+C

在极坐标系中,力的另外两个分量Fθ=0Fϕ=0,所以,用偏导法也容易看出两个点电荷之间的相互作用力为保守力。

积分法。如图,积分路径L为连接PQ点的任意路径,点电荷q对点电荷q0做功为

赵凯华电磁学

APQ==L(Q)L(P)F⃗ dl⃗ =L(Q)L(P)Fcosθdl=rQrPF(r)drqq04πε0(1rP1rQ)

所以,点电荷电场做功与路径无关。

对于任意带电体系,可以将其分割为许多点电荷,总电场是各个点电荷产生的电场的线性叠加。既然各点电荷的电场做功与路径无关,那么总电场做功也与路径无关,即静电力沿闭合路径做功为0:

Lq0E⃗ dl⃗ =0

也即

LE⃗ dl⃗ =0

所以,静电场的环量恒等于0,这个结论叫做静电场的环路定理

电势

做功与路径无关的力场称为保守力场,或势场。根据前述讨论,静电场是一种保守力场,静电力一定是势能函数的负的梯度:

q0E⃗ =W

E⃗ =1q0W=U

标量函数U称为电势

点电荷的电势为

U(r)=14πε0qr+C

在静电场中,点电荷q0从空间P点运动到Q点,静电力做功等于电势能的减少

WPQ=APQ=q0QPE⃗ dl⃗ 

这个积分无需指明路径,因为结果与具体路径无关。

定义电势差

UPQ=WPQq0=QPE⃗ dl⃗ 

电势差为移动单位正电荷时电场力所做的功。

电势为0的点需要人为选定,选定之后,P点的电势就是电势差UP,0

U(P)=UP,0=0PE⃗ dl⃗ 

空间两点之间的电势差为:

UPQ==0PE⃗ dl⃗ +Q0E⃗ dl⃗ =0PE⃗ dl⃗ 0QE⃗ dl⃗ U(P)U(Q)

对于电荷分布在有限区域的体系,一般选无限远处为电势为0的点,P点的电势为

U(P)=UP=PE⃗ dl⃗ 

在国际单位制中,电势或电势差的单位为J/C,这个单位有个专门的名称,叫做伏特,简称伏,符号V

1V=1J/C

根据电势也可以给出一个新的电场强度的单位V/m1V/m=1N/C

电势的计算

对于点电荷,以无限远处为0电势参考点,则距离点电荷r处的电势为:

U(r)=14πε0qr

对于点电荷系,

U(r)=14πε0iqiri

对于连续带电体,

U(r)=dU=14πε0dqr

如果已知电荷体系的电场分布,也可根据电势与电场的积分关系求电势:

U(P)=0PE⃗ dl⃗ 

如果求得电势分布,也可以根据电势与电场的微分关系求电场分布:

E⃗ =U

例1 求均匀带电圆环轴线上电势分布。

大学物理曹刚PPT
求均匀带电圆环轴线上电势分布

设圆环带电量为q,半径为R,圆环轴线上距离圆环中心x处电势为

U(x)=14πε0dqR2+x2=14πε0qR2+x2

例2 求带电圆盘轴线上电势分布。

将圆盘分割成一系列圆环,以这些圆环为元电荷,则轴线上距离圆盘x处电势为:

U(x)=14πε0R0σ2πrdrr2+x2=σ2ε0(R2+x2x)

例3 求均匀带电球壳的电势分布。
设球壳的电量为Q,半径为R,我们知道距离球壳中心r处的电场为

E(r)=14πε0Qr2,0,r>Rr<R

球壳外电势

U(r)=rE⃗ dl⃗ =Q4πε00drr2=Q4πε0r

球壳内电势

U(r)=rE⃗ dl⃗ =RrEdr+REdr=Q4πε0Rdrr2=Q4πε0R

综上,带电球壳的电势分布为

U(r)=14πε0Qr,Q4πε0R,r>Rr<R

即在在球壳外,电势分布与点电荷电势分布相同,在球壳内电势为常量,其值为球壳表面处电势。

赵凯华电磁学 pp36
均匀带电球壳的电势分布

例3 求电偶极子的电场。
设电偶极子电矩为p=ql,场点P距离正负电荷和电偶极子中心的距离分别为r+rr。如图所示。


电偶极子电势

场点P与电偶极子中心的连线与电偶极矩p⃗ 的夹角为θ,根据几何关系,有

r+=r=r2lrcosθ+l24r1lrcosθrl2cosθr2+lrcosθ+l24r1+lrcosθr+l2cosθ

场点P处电势U为正负电荷的电势U+U的代数和,即

U=q4πε0(1r+1r)14πε0qlcosθr2=14πε0p⃗ r^r2

对电势求梯度,即可得场强分布。

Er=UrEθ=1rUθEϕ=1rsinθUϕ

等势面

把静电场中电势相等的点连起来组成的面称为等势面,比如点电荷的等势面为以点电荷为中心的同心球面。

等势面具有如下性质:
(1) 等势面与电场线处处垂直。

赵凯华电磁学 pp38
电场与等势面垂直

如图,一试探电荷q0沿等势面做一任意元位移dl⃗ ,则电场力做功为 E⃗ dl⃗ =Edlcosθ=0,于是cosθ=0,即电场与等势面垂直。

(2) 等势面密集的地方场强大,等势面稀疏的地方场强小。
画等势面的时候规定,任意相邻等势面的差值为一恒量。
相邻等势面差值为ΔU,垂直距离Δn,电场强度E=ΔUΔn,可见等势面的疏密可以反映场强的大小。

作业

  1. 习题 1-26
  2. 求均匀带电球体的电势分布。

参考资料

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