@joyphys
2015-10-25T21:23:02.000000Z
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电磁学讲义
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把一堆点电荷聚在一起需要做多少功?
先把一个点电荷
其中
再移动过来点电荷
以此类推,把第
把
如果先把第
显然
外力做功转化为点电荷系的相互作用能
点电荷系的相互作用能等于各点电荷电量与该电荷所在处电势乘积之和的一半。
如果电荷系处于某静电场中,则电荷系的静电能为:
其中,
连续带电体可以分割成很多的电荷元,每个电荷元
对于体分布:
对于面分布:
对于线分布:
如果只有一个带电体,以上各式就是各带电体的自能。
例1 3个点电荷,放在边长为
三个顶点处电势为
例2 电偶极子在均匀电场中的静电能
例2 求电偶极子在均匀外场中的电势能
电偶极子电势能
例3 电偶极子在电场中的静电能
例3 求电偶极子在外场中的电势能
外场的电势分布为
例4 求均匀带点球的自能。球半径为
电荷体密度为
根据高斯定理,可求得电场分布
球内任意一点电势
静电能
这就是带电球的自能。若带电球半径
导体内有大量自由电子,自由电子在电场力作用下运动使电荷在导体上重新分布,这种现象称为导体的静电感应现象。感应电荷产生的电场称为附加电场。如图1所示,当电场中引入导体后,空间的电场分布发生变化:
其中,
图1 导体内部的电场
当导体内部的电场
(a) 在外电场
(b) 导体表面出现感应电荷,导体内产生附加电场
(c) 当导体内的外电场
当导体处于静电平衡时,可导出如下推论:
1. 导体是个等势体,导体表面是个等势面。
2. 导体表面附近处的场强与表面垂直。
(1) 实心导体内部无电荷
图3 实心导体
可由高斯定理证明,在实心导体内部做个任意的高斯面,
(2) 空腔导体(内部无带电体)导体内和空腔内表面均无电荷
对于空心导体,如果空腔内没有带电体,则导体内表面处处无电荷分布,电荷只能分布在外表面,空腔内电势处处相等,没有电场。
图4 空腔导体(内部无带电体)
由高斯定理可以证明空腔内表面没有净电荷,还可以证明:导体空腔的内表面上也不可能有等量异号电荷。若腔内表面有等量异号电荷出现,则空腔内必有电场线存在(见图4),将试探电荷
(3) 空腔导体(内部有带电体)
图5 空腔导体(内部有带电体)
由高斯定理,易证电荷分布在导体内、外两个表面,其中内表面的电荷是空腔内带电体的感应电荷, 与腔内带电体的电荷等量异号。
(4) 导体面电荷密度与场强
图6 导体表面做高斯面
在导体表面取很薄的柱状高斯面,如图6所示,则其侧面和导体内底面的电通量为零,则
于是可得
可见,
(5) 静电屏蔽
图7 对腔外电场的屏蔽
空腔导体(不论是否接地)的内部空间不受腔外电荷和电场的影响;接地的空腔导体, 腔外空间不受腔内电荷和电场的影响。
图8 对腔内电场的屏蔽
一个孤立导体,带有电量
电容可以与水容器类比。不同的容器,使水面上升一个单位高度,所需要的水量不同,即“水容”不同,“水容”与容器形状无关,与是不是有水无关。
图9 电容与水容器类比
对于孤立导体球,
带等量异号电荷的两个导体(称为极板)组成的系统称为电容器。
图10 电容器
电容器的电容定义为:
当周围电荷分布或电介质分布发生变化时,电容C也发生变化。但当电容器一极板包围另一极板或两平行极板相距很近时,电场将只分布在两极板之间且不受周围情况的影响,使极板间电势差保持稳定。此时,电容器的电容只决定于其本身的结构。
以下讨论几种形状简单、对称的电容器的电容。
(1) 平行板电容器
图11 平行板电容器
(2) 球形电容器
图12 球形电容器
两极板间的电场:
两极板间电势差:
电容:
(3) 圆柱形电容器
图12 圆柱形电容器
两极板间的电场:
两极板间电势差:
电容:
对于带电导体,电荷都分布在表面上,整个导体是个等势体,导体系的静电能:
其中,
电容器是两个导体极板组成的导体系,两个极板电量分别为
不难证明,电容器的能量在数值上等于电容器在充电过程中外力反抗电场力所做的功。电容器不仅是电荷的容器,还是静电能的容器。
我们前面求了各种静电能的表达式,能量都与带电体的电量相联系,因此,有人认为静电能是集中在电荷上的。其实,我们只是求了电荷系的静电能,并未涉及静电能的分布。
对于平行板电容器,静电能为:
可见,静电能不仅与电场强度有关,而且还与电场分布的空间体积